Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
Чп+1 - (Ln q(x + а)~ q(x) dq(x)
дх
аналогичным образом
Чп - Яп-1 _ дд(х - а) _ а дх '
следует помнить, что q зависит также и от t.
С учетом введенных обозначений уравнение (Д2.5) приобретает вид
d2g Е ^ dt2 а
dq
дх
dq
дх
= 0.
Наконец, разность первых производных в близких точках, деленную на а,
заменяем вторую производной по координатам и получаем уравнение движения
упругого стержня
д2д _ _
мdt2 дх2
Это - волновое уравнение, которое можно переписать в виде
1 d2q dq
cf dt2 dx2
= 0,
(Д2.6)
(Д2.Т)
де ci = yjE/fi - скорость продольных волн.
Теперь обратимся к функции Лагранжа (Д2.2) и выполним предельный переход
также и в ней:
Вариационный принцип для непрерывных систем
695
Сумма по всем частицам при таком предельном переходе превращается в
интеграл по координате. Функция, стоящая под знаком интеграла, называется
плотностью функции Лагранжа или лагранжианом:
Итак, мы получили следующее правило перехода от механики материальных
точек к механике непрерывных систем:
1. Номер частицы п переходит в координату х.
2. Обобщенная координата qn(t) становится функцией координаты и
времени: q{pc, t) или, в случае движения по всем трем измерениям, q(r,
t). Число обобщенных координат, задающих состояние непрерывной среды,
может быть произвольным. Например, при трехмерном движении упругой среды
вектор деформации имеет три составляющие, qa(r, t), а = 1, 2, 3.
Электромагнитное поле описывается в каждой точке четырьмя обобщенными
координатами - компонентами 4-потенциала АДг, t), г = 0, 1, 2, 3, и т.д.
3. Функция Лагранжа выражается в виде интеграла по координатам от
лагранжиана, который в рассмотренном выше примере зависит от первых
производных обобщенных координат (полевых функций). В общем же случае он
может зависеть также от самих обобщенных координат ql(r, t), а также от
пространственных координат г и времени t:
4. Поскольку функция Лагранжа L становится интегралом по пространству,
действие S выражается в виде интеграла по четырехмерному многообразию:
Мы используем в (Д2.10) и (Д2.11) верхние индексы. Но они в данном случае
не обязательно нумеруют контравариантные компоненты какого-ли-
бо 4-вектора.
Лагранжева форма уравнений движения непрерывной среды.
Выясним теперь вопрос о том, как следует формулировать вариационный
принцип для непрерывных систем, с тем чтобы из него следовали уравнения
движения. Это будет сделано на основе аналогии с механикой материальной
точки, выясненной в деталях выше.
(Д2.9)
696
Дополнение 2
Роль обобщенных координат для непрерывной системы играют полевые функции
дг(г, t). Индексом г и пространственными координатами г нумеруются теперь
степени свободы системы, которые составляют континуальное множество. При
варьировании действия обобщенные координаты дг(г, t) должны получать
малые независимые приращения &f(r, t), не связанные с изменением
координат и времени, подобно как в механике материальных точек вводится
вариация Sqn(t) в фиксированный момент времени и для фиксированной
степени свободы п. На границе области интегрирования в (Д2.11), т. е. на
трехмерной гиперповерхности Е, обобщенные координаты должны иметь
заданное значение и их вариации обращаются в нуль:
6j(r,t) |2=0. (Д2.12)
Имея в виду эти замечания, призванные подчеркнуть аналогию с механикой
системы материальных точек, мы можем теперь сформулировать вариационный
принцип для непрерывной системы следующим образом.
Реальная эволюция непрерывной системы в пространстве и во времени при
заданных значениях ее обобщенных координат на границе 4-мерной области
происходит таким образом, что действие S имеет стационарное значение, т.
е. его первая вариация обращается в нуль:
5S = 0. (Д2.13)
Переходя к вычислению первой вариации действия, используем здесь
сокращенные обозначения для производных:
да1 даi
Это позволит упростить запись получаемых соотношений.
Рассматриваем действие как функционал от обобщенных координат и вычисляем
в первом порядке по 5ql разность
SS = S[ql(r, t) + Sql(r, t)] - S[ql(r, t)] =
(Д2Л4)
E
Здесь входит записанная явно сумма по всем значениям индекса i (т. е. по
всем компонентам полевых функций), а в последнем слагаемом под интегралом
- не выписанная в явном виде сумма от 1 до 3 по декартовым координатам
ха.
Вариационный принцип для непрерывных систем
697
Пользуясь тем, что операция варьирования 5 совершается при постоянных г и
t и, следовательно, перестановочна с операцией дифференцирования,
записываем
5q\t = ^-5q\ 5д\а = ^-5дг ot оха
и интегрируем соответствующие члены в (Д2.14) по частям:
=Sd3xw:,mr' ,)AdL
(Д2.15)
Аналогичным образом
/ ~Sr~S(l\ad3xdt = j d2Sadt-Qj-5qi(r, t) -
J ,a J &Q. ,a ^
- j (-f-j^L\qt{r,t)d3xdt. (Д2.16)
J \ CLXa OQ 5Q; /
Здесь d2Sa - проекция элемента двумерной поверхности на ось ха.
Выделившиеся члены, которые должны интегрироваться по трехмерной
гиперповерхности, обращаются в нуль в силу (Д2.12). Уравнения (Д2.13) с
учетом (Д2.14)-(Д2.16) принимает вид
