Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
°2Р , c2P0z . ,Л слЛ
vc = = ve + vи, им = _ h, (4.82)
g g
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
335
где h = Н/Н - единичный вектор. Частица движется поперек магнитного и
электрического полей со скоростью электрического дрейфа ve < с:
Е х Н (л
VE = c----. (4.83)
НА
Скорость электрического дрейфа не зависит от знака заряда частицы и его
величины, а также от массы и энергии частицы.
Скорость вдоль магнитной силовой линии в общем случае имеет вид
1 тр2 / тт'2
<4-84)
Она сводится к начальной продольной скорости vqz, если Е <С Н. Ш
Пример 4.13. Заряженная частица движется в постоянном, но неод-
нородном магнитном поле. Напряженность Н не меняется по направлению, но
слабо (на расстоянии порядка ларморова радиуса частицы) изменяется по
абсолютной величине. Вычислить в первом неисчезающем приближении скорость
поперечного дрейфа частицы, обусловленную неоднородностью магнитного
поля.
Решение. Поскольку энергия частицы сохраняется, поперечное движение
описывается уравнением
(1) = Sl = -^H,
где Н = Hh - поле в точке, в которой находится частица. Представим ее
радиус-вектор в виде суммы R+r радиуса-вектора ведущего центра R и ра-
диуса-вектора г самой частицы относительно ведущего центра. С точностью
до членов I порядка малости имеем Н(R+г) = Н(R) + (г_\_-Х7)Н(R).
Уравнение (1) примет вид
(2) vj_ = Г2 х vx_ ^1 + ^Н),
где теперь H(R) всюду берется в точке ведущего центра и не зависит от
координат самой частицы.
Представим скорость частицы в виде v± =Vo±-\-v/_L, где = ^о± - скорость в
однородном поле H(R), v'j_ - малая добавка, вызванная неоднородностью
поля. В поправочном члене в (2) заменим и ri на их
336
Глава 4
невозмущенные значения vo± и причем г?о± = Г2 х vo_l- Таким образом,
(3) v'± = П х [г/± + V0±(r01_ • VН)/Н].
Теперь усредняем (3) по ларморовскому вращению, т. е. по периоду Т = =
27г/?}. Имеем
v'± = {t + Т) - v'j_(t)] " О
с точностью до членов I порядка, так как поправки к членам I порядка
имеют порядок не ниже второго. Следовательно, скорость поперечного дрейфа
Vg = V01_ + v'± = v'± = -V0±(r0± •
где ro_i_(t) = R±(eisinftt + в2 cosШ) - радиус-вектор частицы в
однородном поле, R± = ср±/еН - ларморов радиус. Проведя усреднение по
времени, найдем скорость градиентного дрейфа:
vg = V~^h х Vtf. (4.85)
В отличие от электрического дрейфа, скорость градиентного дрейфа зависит
от энергии и заряда частицы. Параметром малости, по которому
производилось разложение, выступает безразмерная величина
(4) Д±|УЯ|/Я<1.
Пример 4.14. Нерелятивистская заряженная частица совершает колебания в
одномерном потенциальном поле U(х) с периодом То. В некоторый момент
включается модулированное по амплитуде быстропеременное электрическое
поле Е(х) coscot, со 2tt/Tq. Произвести усреднение по быстрым осцилляциям
электрического поля и получить уравнение, которое описывало бы
усредненное движение частицы в результирующем поле. Оценить пределы
применимости описания на основе усредненного уравнения.
Решение. Точное уравнение движения имеет вид
dU(x)
(1) тх =-----------Ь еЕ(х) coscot.
ах
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
337
Его усреднение основано на выделении малой осциллирующей добавки q(t) к
координате частицы:
(2)
x(t) = X(t) + q(t), x(t)=X(t), q(t) = 0.
Чертой обозначено усреднение по быстрым осцилляциям с частотой со. При
таком усреднении медленная координата X (t) и выражающиеся через нее
величины могут считаться постоянными на временах порядка периода Т = =
27т/со быстрых осцилляций. Малость q может достигаться не малостью поля
Е, а его быстрыми изменениями, уменьшающими амплитуду колебаний частицы.
Уравнение (1) после подстановки (2) и учета членов первого порядка по q
принимает вид
(3) X + q = -
1 dU(x) i d2U(x)
q-\-E(X) cos cut H-
m
m dX rri dX Это разложение предполагает неравенства
е dE(x) m dX
q cos cot.
d2U dU dE
qdx2 < dX qdx
"|Я|
а следующие члены должны быть пренебрежимо малы. Иными словами, должна
быть обеспечена малость \q\ по сравнению с меньшим из масштабов L
изменения функций Е(Х) и dU/dX.
Усреднив (3) по периоду 27т/со, получаем уравнение
(4)
1 dU , е dE-
X =------ Н------qcosut
m dX m dX
В нем нужно выразить q через X и произвести усреднение в последнем
слагаемом. Вычитая (4) из (3), получаем уравнение для осциллирующей
добавки
q = -- ^ ^ + -Е(Х) cos cot + -^^(qcoscot - q cos cot), m dX m m dX
J
Поскольку q(t) осциллирует с частотой вынуждающей силы со, то по порядку
величины q ~ co2q, qU"/тп ~ co^q, а последнее слагаемое имеет лишний
малый множитель порядка q/L по сравнению с предпоследним. В итоге в
пренебрежении малыми членами остается приближенное уравнение
338
Глава 4
решение которого, обусловленное вынуждающей силой, имеет вид
(5) q(t) =------^гЕ(Х) cosujt.
rnuj
Возвращаясь к уравнению (4) и произведя усреднение, получим искомое
уравнение для сглаженного по быстрым осцилляциям движения
= где Ueff(X) = U(X) + ^E2(X) = U(X) + ^f
