Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
4.78. Релятивистская частица с зарядом ±е, массой т и скоростью на
бесконечности г>о рассеивается на малый угол кулоновским полем
330
Глава 4
неподвижного заряда Ze. Вычислить дифференциальное сечение рассеяния
сг(в).
4.79*. В бетатроне во время ускорения электрона магнитное поле непрерывно
нарастает, порождая разгоняющую электрон ЭДС индукции, а орбита его
остается неизменной. Доказать, что для ускорения электрона на орбите
постоянного радиуса необходимо, чтобы полный магнитный поток Ф,
пронизывающий орбиту, был вдвое больше потока Фо, который получился бы,
если бы поле внутри орбиты было однородно и равно полю на орбите
(бетатронное правило "2: 1").
4.80*. Показать, что с точностью до членов v2/с2 энергия запаздывающего
взаимодействия двух заряженных частиц имеет вид4
где R - радиус-вектор относительного положения частиц, п = R/R, Vi, V2 -
скорости частиц. Все величины в правой части равенства берутся в момент
t.
УКАЗАНИЕ. Воспользоваться разложениями потенциалов Льенара - Вихерта (см.
следующую главу) по степеням времени запаздывания, учитывая только те
члены, которые не зависят от ускорений и их производных. Произвести
калибровочное преобразование потенциалов таким образом, чтобы скалярный
потенциал принял форму кулоновского потенциала.
4.81. Найти приближенное выражение функции Лагранжа двух
взаимодействующих частиц с зарядами ei, и массами mi, m2, учитывая эффект
запаздывания с точностью до поправочных членов порядка v2/с2.
Динамика орбитальных и спиновых магнитных моментов. При
движении заряженной частицы в центрально-симметричном электрическом поле
сохраняется ее момент импульса относительно центра симметрии I = = го (?)
х p(t), где го (?) - радиус-вектор частицы. Это приводит к сохранению
магнитного момента mi, создаваемого орбитальным движением частицы
(орбитального магнитного момента):
где в интеграл подставлено выражение j = ev5(r - ro(t)) для тока,
создаваемого движущейся точечной частицей, а коэффициент пропорционально-
4Это выражение носит название формулы Брейта. Аналогичное выражение
используется при приближенном квантовом описании запаздывающего
взаимодействия.
(4.76)
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
331
сти г] = ес/28 называется гиромагнитным отношением. Для
нерелятивистской частицы г) = щ = е/2тс зависит от отношения
ее заряда к массе
(см. задачу 2.88).
Пример 4.11. Вывести уравнение, описывающее движение орбитального
магнитного момента во внешнем магнитном поле Н.
Решение. На магнитный диполь во внешнем поле действует момент сил N = mi
х Н. Изменение момента импульса дается уравнением механики
jt=N = mixH. (4.77)
Из уравнения (4.76) находим rhi = r]l - (8/8)т]1. Поскольку энергия
частицы в постоянном магнитном поле сохраняется, 8 = 0, то уравнение
движения орбитального магнитного момента принимает вид
^=Чтгх Н. (4.78)
Кроме механического и магнитного орбитальных моментов, большинство
элементарных частиц обладает собственными (спиновыми) механическим s и
магнитным ms моментами, коэффициент пропорциональности между которыми
различен для разных частиц:
ms = gr]0s. (4.79)
Для электрона де ~ 2(1 + а/27г), где а = е2/Не ~ - постоянная тонкой
структуры; для протона др ~ 5,59, а величина 770 = е/2трс определяется
зарядом и массой протона. Она приблизительно на три порядка меньше, чем
соответствующая величина для электрона. Изменение спинового механического
момента во времени5 описывается уравнением, аналогичным (4.77):
jj^ = msxH. (4.80)
Нейтрон не имеет электрического заряда, но обладает спиновым
магнитным моментом (дпЩ8, где дп ~ -3,83). Благодаря
квантованию спи-
на (s-H/H = ±Й/2, где h - постоянная Планка) магнитный момент нейтрона
может ориентироваться во внешнем магнитном поле Н(г) только двумя
5 Спиновый момент имеет квантовую природу и его последовательное описание
достигается методами квантовой механики. В приведенных формулах под s, ms
следует понимать средние по квантовомеханическому состоянию значения
спиновых моментов микрочастицы.
332
Глава 4
способами: по или против поля. Первоначальная ориентация сохраняется,
если выполнено условие достаточно плавного изменения поля, или его адиа-
батичности, состоящее в том, что скорость поворота поля в системе покоя
нейтрона мала по сравнению с частотой прецессии спина uol = 2\ms\H/h в
магнитном поле. В этом случае движение нейтронов с магнитным моментом,
ориентированным по полю или против него, можно рассматривать как движение
классической частицы в силовом поле с потенциальной энергией
Энергия U обычно очень мала, поэтому магнитное поле оказывает влияние
практически лишь на движение очень медленных ("холодных") нейтронов.
Рекомендуемая литература: [Френкель (1956)], [Матышев (2000)],
[Берестецкий и др. (1989)], [Батыгин и Топтыгин (1970)], [Джексон
(1975)], [Джексон (1965)].
4.82. Проинтегрировать уравнение (4.78) движения магнитного момента в
магнитном поле и выразить компоненты mi через его начальное значение
