Современная электродинамика, Часть 1 Микроскопическая теория - Батыгин В.В.
ISBN 5-93972-164-8
Скачать (прямая ссылка):
преобразования напряженностей поля, либо формулами преобразования
потенциалов.
4.34*. Найти поля ср, А, Е, Н точечного заряда е, движущегося равномерно
со скоростью V, произведя преобразование Лоренца из системы отсчета, в
которой заряд покоится. Записать 4-потенциал в явно релятивист-ски-
ковариантной форме.
УКАЗАНИЕ. Для ковариантной записи 4-потенциал следует выразить через 4-
скорость частицы и 4-радиус-вектор, соединяющий два события: наблюдение
поля в 3-точке г в момент t и его генерацию зарядом в 3-точке s(t') в
предшествующий момент времени t'.
4.35. Показать, что электрическое поле равномерно движущегося точечного
заряда "сплющивается" в направлении движения. При этом происходит
ослабление поля Е на линии движения заряда по сравнению с ку-лоновым
полем. Как согласуется это ослабление с формулой преобразования Е\\ =
Е'^1
324
Глава 4
4.36*. Электрический диполь с моментом р0 в сопутствующей системе
равномерно движется со скоростью V. Найти создаваемое им электромагнитное
поле ip, А, Е, Н.
4.37*. В некоторой системе координат заряженные частицы совершают
нерелятивистское периодическое движение или покоятся, создавая при этом
дипольные электрический и магнитный моменты р0, то. Найти правило
преобразования моментов при переходе в произвольную инерциальную систему
отсчета.
УКАЗАНИЕ. Представить совокупность дипольных моментов как интеграл по
трехмерному объему от некоторой ковариантной "плотности момента" и
воспользоваться преобразованиями Лоренца.
4.38. Незаряженная проволочная петля с током J', имеющая форму
прямоугольника а х Ъ, движется равномерно со скоростью V параллельно
своей стороне а. Провод имеет конечное сечение. Найти распределение
электрических зарядов на петле, а также ее электрический и магнитный
моменты, наблюдаемые в лабораторной системе отсчета.
4.39*. Вывести уравнение движения релятивистской частицы (4.58) на основе
функции Лагранжа (4.46).
4.40*. Сделать то же самое с помощью функции Гамильтона (4.65).
4.41. Записать релятивистское уравнение движения частицы под действием
силы S, выразив импульс явным образом через скорость v частицы.
Рассмотреть, в частности, случаи, когда скорость а) меняется только по
величине; б) меняется только по направлению; в) v <С с.
4.42. Выразить друг через друга 3-вектор силы, действующей на частицу в
лабораторной системе (S) и в системе покоя (S'). Скорость частицы v.
Проверить полученные формулы путем применения их к силе Лоренца.
4.43. Какая сила S действует с точки зрения наблюдателя в мгновенно
сопутствующей системе на тело массы га, находящееся в ракете и
неподвижное относительно нее, если ракета движется с релятивистской
скоростью v по круговой орбите радиуса Ш
4.44. Две частицы с зарядами е\ и б2 движутся параллельно оси х с равными
постоянными скоростями v. Найти силу взаимодействия частиц в лабораторной
системе. Рассмотреть, в частности, ультрарелятивистский предел. Показать,
что найденная сила может быть вычислена по форму-
4.2. Движение заряженных частиц в электромагнитных полях.
325
ле 3* = - е2^7ф из так называемого конвекционного3 потенциала
ф = ei/72R, где R = у/(m - х2)2 + (1 - f32)[(yi - уг)2 + (zi - z2)2],
тъ г2 - радиусы-векторы зарядов.
УКАЗАНИЕ. Удобно исходить из кулоновской силы в сопутствующей системе и
выполнить ее преобразование по формулам задачи 4.42.
4.45. Найти конвекционный потенциал гр бесконечно длинного прямого
равномерно заряженного провода. Линейная плотность заряда к в той системе
отсчета, где провод покоится. Провод перемещается поступательно со
скоростью v под углом а к своей длине (в лабораторной системе отсчета).
Рассмотреть, в частности, случаи а = 0, а = тг/2.
4.46. Бесконечно длинная равномерно заряженная нить с линейной плотностью
заряда к в системе, где нить покоится, перемещается вдоль своей длины
равномерно со скоростью v. На расстоянии г от нее находится точечный
заряд, движущийся параллельно прямой с той же скоростью. Найти
электромагнитную силу 3*, действующую на заряд.
4.47. Распределение электронов в параллельном пучке обладает аксиальной
симметрией и характеризуется объемной плотностью заряда р в системе
отсчета, связанной с электронами. Электроны ускорены разностью
потенциалов V. Полный ток в пучке равен J. Найти величину
электромагнитной силы 3, приложенной к одному из электронов пучка в
лабораторной системе отсчета.
Указание. Полезно использовать результат предыдущей задачи.
4.48. Найти уширение А а пучка электронов, рассмотренного в предыдущей
задаче, на пути L вследствие взаимного отталкивания электронов. Сечение
пучка - круг радиуса а. Считать уширение малым (Да <С L).
4.49**. Частица с зарядом е и массой т движется с произвольной скоростью
в однородном постоянном электрическом поле Е. В начальный момент t = 0
частица находилась в начале координат и имела импульс р0. Определить
трехмерные координаты и время t, а также энергию частицы в лабораторной
системе в функции ее собственного времени г. Исключив г, представить
