Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
(±>
где dl — элемент длины луча.
Подставим сюда (II. 52) и вычислим интегралы <±>
здесь I — длина контура; 5 — площадь фигуры, ограниченной контуром. Для простоты предполагается, что контур проходит по точкам либо только среды (рф 1), либо только вакуума (р = 1).
182* Интерферирующие лучи имеют, следовательно, разность фаз = 4o>5vp0(І + -^k ). (11.53)
Описанный здесь процесс интерференции схематически восстанавливает опыты Саньяка (Sagnac, 1914) и Гарреса (1912). В опыте Саньяка среда отсутствует, а интерференционная картина соответствует разности фаз =4o>Sv. В опыте Гарреса, напротив, лучи пробегают в кольце из стеклянных призм. Интерференционные полосы и в этом случае соответствуют разности фаз лучей, равной =4<oSv. Теоретическую формулу (11.53)
"Г ///
можно привести в соответствие с экспериментальными данными, если положить
^e (i+-^h-J9) =
Подставляя это равенство в ряд Тейлора функции р, получаем
р (v, a COS а) —Р (v) -f [1 —р (v)] cor COS а, (11.54)
а следовательно, и (11.51).
Из уравнения (II. 39) в линейном приближении легко получить равенство
(l±L) =acosa.
Используя это равенство, а также (И. 49) и теорему 43, приходим к уравнению дисперсии однородной среды.
Следствие 16. Если однородная диспергирующая оптическая среда покоится на вращающемся теле, то ее уравнение дисперсии в линейном по cor С 1 приближении имеет вид
V =-k—:-. (11.55)
4.)
Для получения явной зависимости частоты от волнового числа необходимо алгебраически разрешить это уравнение относительно частоты.
§ 27. ОТРАЖЕНИЕ И ПРЕЛОМЛЕНИЕ СВЕТА НА ГРАНИЦЕ СРЕДЫ
В формулу (II. 8) можно вложить иной смысл, помимо раскрытого уже в тексте § 21. Поскольку она получена подстановкой в (И. 5) уравнения луча,то ее правая часть может определять изменение значения функции, удовлетворяющей уравнению (II. За), при малом отклонении кривой С с незакрепленными концами в
183* окрестности луча (экстремальной кривой). То же относится к формуле (11.37). Использование их именно в этом смысле вместе с принципом Ферма позволяет получить законы отражения и преломления на границе вакуум — среда в приближении геометрической оптики. Для этого луч, проходящий через две заданные точки такие, что точка отражения (преломления) находится между ними, делится на два отрезка: между начальной точкой и точкой отражения (преломления) и между точкой отражения (преломления) и конечной точкой. На первом отрезке зафиксирована начальная точка, а на втором — конечная. Следует иметь в виду, что показатель преломления, будь то гравитационный показатель для вакуума (II. 9) или показатель преломления среды (11.32), имеет разные значения не только для падающего и преломленного лучей, но и для падающего и отраженного, так как он зависит, помимо прочего, еще и от проекции метрического вектора на направление луча. Показатель преломления изменяется на границе скачком не только по разные стороны от границы, но и по одну ее сторону при изменении направления луча.
1. Отражение на границе вакуум — среда. Найдем законы отражения луча в вакууме. На границе луч удовлетворяет условию
(КЯ-л,Я)8*)=°> (п-56>
где 6х — вектор произвольного малого смещения на границе, а индексы «1» и «2» относятся соответственно к падающему и отраженному лучам.
Пусть граница задана единичным вектором N нормали, направленным из среды в вакуум. Введем обозначения: і — угол падения луча, Y — угол между векторами а и N в точке отражения. Тогда, разрешая (11.56) и используя формулу (11.10), связывающую единичные векторы вдоль луча и нормали к фронту, получаем
I2 = ~ {2 cos і [(1 + a2) N - a cos таJ + (1 -f а2 sin2 7)^} , (11.57)
А={( 1 + а2 sin2 7 )2 — 4а2 cos2 7 cos2 і —
— 4а2cos 7 cos а, cosi(l + a2 sin2 7))1'2. (11.58)
Формула (11.58) и представляет собой закон отражения света от границы вакуум — среда в произвольном метрическом поле. Согласно ей, только в синхронных системах отсчета углы падения и отражения равны, а плоскости отраженного и падающего лучей совпадают. В несинхронных же системах отсчета плоскость луча при отражении поворачивается, а угол отражения не равен углу падения.
184* Из (IL 57) следуют формулы для вектора Q поворота плоскости луча в направлении от плоскости падающего к плоскости отраженного луча
Q= у 2а cos, ctg/ (й[мг])АГ (11.59)
К Л3 — (1 +O2 sin3?)2 cos3 і
и угла г отражения
1 4- o2sin3 т . /1Т
cos г = А-* cos і. (11.60)
Заметим, что три угла і, у и а\ удовлетворяют неравенству —COS (7 — І) < COS Ot1 < —cos (7 +І).
В слабом метрическом поле, когда а < 1, разность углов отражения и падения, а также угол поворота плоскости луча пропорциональны квадрату абсолютного значения метрического вектора.
2. Отражение на границе среда — вакуум. Вектор нормали к границе направлен внутрь среды, остальные обозначения те же, что и в первом пункте. Закон отражения выражается формулой
^2 =-т:--l--s?~T I'M1 ~acos аД) ei +
т2 (1 — acosa2g2 J I 4
+ [т$х - т2Щ a + Bn] , (11.61)
где
т = ре* (a COS а + -fa2 COS2 а),
