Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
200* Ov в которой заключен источник (в D2 события P < Emit и P < asy Границей между D1 и D2 является гиперповерхность Emat, а между D2 и D3-Oj. В области D3 внешнее решение, следовательно, принимает вид
D3 (Р> «,).
1+^-1, Ci = const > О,
V2 = (
-Ce^l Ct = const > О,
(III.17а) (III.176)
, (111.17B)
C7 = const.
Если внутреннее решение уравнений (III. 4 а), (III. 4 б) и (III. 5) в D2 допускает сшивание его с внешними решениями на границах областей Di и D2 и D2 и D3 соответственно, то внешнее решение в D3 может иметь определенный физический смысл.
3. Внутреннее решение. В области D2 Общее решение
уравнений (ІІІ.4 а) и (111.4 б) в D2 можно записать следующим образом:
V2=і+Y (C9+X JM2^)] ,
(III.18а)
X ехр
(III.186)
Лг+С10 =
(III. 18в)
201* Здесь Ce, C9 и Сю — произвольные постоянные, a r\R— значение функции т) на внутренней стороне внешней границы. Функция V(V) уравнениями Эйнштейна не определяется, поэтому в формулах (III. 15) — (III. 18) v(r)—произвольная функция, принадлежащая классу C2 непрерывных функций.
Постоянную C4 можно использовать, чтобы приравнять значения функции т|, определяемой формулами (III.16 в) и (III.18 в), с обеих сторон внешней границы, тогда из равенства на Smat правых частей (111.16а) и (III.18а), (III.166) и (III.186) соответственно следуют Cs = —a, C9=I, а внутреннее решение принимает вид
D2 (Р< Sraat, P<as)>
X
X exp
([X -I- p) -Tjdri
1--
1 -
1R >
"Г JWdrI
(III. 19a)
(ИІ.196)
Лг + С10 =
10
dr\
/ 1-т («-^ J«'*)
(111.19b)
Уравнение (III. 5) Эйнштейна сводится после подстановки в него (III. 19 6) к следующему:
P =
1 к + P
%/>т|3 — X J W2Url
7IR
}
1 —
rIR
(III.20)
JXY]2 df\
Правая часть его отрицательна вблизи внешней границы, поэтому с уменьшением г от R давление возрастает. Знак производной давления определяется знаком выражения
rI R
а + ърг{1 _ * j j1^rf7j
202* Значение интеграла в этом выражении монотонно возрастает с уменьшением т] от -у] поэтому в общем случае не исключается существование такой гиперповерхыости г = rc , на которой r\ = = а производная давления равна нулю. Пусть /?'(г,) = 0, тогда /j"(rc)<0, так как
P (гс) = - 4"* {(lA + ^(lA + 3/7> J•
поэтому давление принимает на этой гиперповерхности максимальное значение (гс не является точкой перегиба). Если tjc =^Ot то давление монотонно падает от максимального значения при уменьшении гот гс. Следовательно, должна существовать и такая гиперповерхность, на которой г)=г)о, а давление снова принимает нулевое значение. Эта гиперповерхность совпадает, согласно (III.9), со свободной внутренней границей Os источника, а область мира т][0, т]о] является внешней областью D3.
Введем обозначение
7IR
Pa3-J- ^pifdiU , (ИІ.21)
тогда
Ч R Ч
-J- j* ^drl = P--M vtfd-n = P - k (Ч). (111.22)
Ч Vo
Легко видеть, что ?>l, когда существуют обе гиперповерхности Tjo и т]с, на которых давление имеет нулевое и максимальное значения, причем первая из них не совпадает со свободной внешней границей. Если такие гиперповерхности отсутствуют, или хотя бы отсутствует гиперповерхность, на которой давление равно нулю (например, внутренняя граница источника не свободная), то т]о имеет смысл наименьшего значения функции т\ в области D2. Так как областью изменения функции ц является полуинтервал [0, оо), ТО TJo = O, если источник не имеет внутренней границы*, и Tjo — значение функции ц на внутренней стороне внутренней границы cs t если таковая имеется. Событиям P <os и P < Smat источника соответствует область изменения а событиям p>as внешней области D3 соответствует полуинтервал значений TJ [0, IJ0).
Теперь необходимо сшить решения (III. 17) и (III. 19) на внутренней границе а«. Для этого постоянную, оставшуюся свобод-
* Необходимо оговорить, что обратное неверно. Из равенства щ нулю еще яе следует отсутствие внутренней границы.
203* ной при сшивании решений (III. 19) и (III. 16) на внешней границе Smat/ можно использовать, чтобы радиальной координате внутренней границы присвоить наперед заданное значение, приравняв значения функции Т] с внутренней и внешней стороны O8 значению г|о. Оно должно удовлетворять единственному требованию быть меньше R. Для определенности выберем Cj0 так, чтобы на внутренней границе г=0 (Арифов, 1969 а). Из равенства на о» правых частей (III. 19а) и (III. 17а), (III. 19 6) и (III. 17 6), согласно условиям гладкого сшивания на границах, следуют
C5 = a(?-l), C6=A,
где
А = ехр
С + I
І L1 —C« — P -н Л>] J"
(IH.23)
Оставшуюся в (III. 17 в) неопределенной постоянную C7 можно использовать, чтобы радиальной координате центра Tj=O симметрии присвоить наперед заданное, но меньшее значения координаты внутренней границы, значение г0. Так как на внутренней границе г=0, то го<0, постоянные C4, C7 и Сю определяются равенствами
Ii-O
C7 = -J-
C10 - - Лг|г=й +
dn
J Yx-^-O-M-*)
C4 = -I е*гЧпг=о +
г=О
I1I=7Io
Уг
^etJo і І/ і JL(i—kyrmsQ
