Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
KdJamat = к,,Lmat = 0, />mat (P0) = 0. (ШЛО)
Если абсолютная температура равна нулю, то внутренние границы вещества и источника совпадают.
И, наконец,
P(P) =P(P) -0, ЄСЛИ P > 2mat " Р> V (Ш.11)
Последние равенства означают, что источник отсутствует в событиях, находящихся с внешней стороны соответствующих гиперповерхностей.
Поведение метрики на любой из рассмотренных границ следует из требования принадлежности метрического тензора к классу C2 кусочно-гладких функций: компоненты метрического тензора от-
197*носятся к классу C2 непрерывных функций вне границ, а на границах
= ^f(P0),
[*,, -?«Ч>] = V Ap*) 4) + T К P-A? <О] -
где — единичные некомпланарные ортогональные п" векторы, принадлежащие границам, один из которых — временноподобный, а величины Ativ и B^ разрывов непрерывности определяются уравнениями Эйнштейна и условиями на границах, наложенными на вещество и излучение.
Для квадратичной формы (III. 3) условия сшивания метрики на свободных границах принимают, поэтому, вид
IM-M = N=O. Fl = Kl = Kl = O.
Непрерывность Tj' на границах следует из уравнения (III. 4 а) Эйнштейна, а непрерывность Kf — из (ГІІ.4 6) и непрерывности давления на свободных границах.
Необходимо отметить, что сформулированное поведение метрики на границах предполагает правильный выбор системы координат. Поскольку компоненты метрического тензора преобразуются с помощью первых производных функций преобразования координат, а метрический тензор, согласно условиям сшивания, принадлежит к функциям класса C1 непрерывности, то допустимые преобразования координат должны принадлежать классу по крайней мере С2. В противном случае условия сшивания на границах для преобразованной метрики будут нарушены, что, конечно, будет свидетельствовать не о каком-либо новом характере физических процессов на поверхности разрыва непрерывности, а о «плохом» выборе новой системы координат. В частности, уже отмечалось, что преобразованием r-*r=f(r) одну из искомых функций в квадратичной форме (III. 3) можно привести к наперед заданной. Примером такого преобразования класса C2 является
7= J endr + const,
199*осуществляющее преобразование от формы (III. 3) к форме (Ари-фов, 1969 а)
df = -ех (dx0)2 + dr2 + у? O4sin20rfcp2), <111.13)
в которой обе оставшиеся функции гладко сшиты на границе. К другому примеру относится преобразование г = г|(г), переводящее форму (III. 3) в стандартную форму Шварцшильда
ds2= - ex(dxj + e*dr2+ г2 (d02 + Sin2Mcp2), (III. 14)
в которой уже компонент gп метрики не удовлетворяет условию гладкого сшивания. Разрыв непрерывности первой производной метрики в стандартной форме Шварцшильда происходит из-за разрыва непрерывности второй производной метрики в исходной форме (III.3). В этом смысле стандартные координаты Шварцшильда представляют определенное неудобство.
Если границы, или какая-нибудь из границ , не свободные, то на них, помимо (III. 6) и (III. 8), выполняются условия
IPI2 = -/»~(я0)<о.
W2 = hb = Ws-o, (ш.126)
Kl2 = KIs = O,
M2 = -V- (/>.)$$¦е^
вместо (III. 7), (III. 9), (III. 10) и (III. 12 а).
2. Внешнее решение. Общее решение уравнений (III. 4 а) и (III. 4 б) в области мира, для которой имеет место (III. 11), можно представить формулами
Y2 = + C1 = const, (III.15а)
ех = C2 ^l +--1), C2 = Const > 0,
Г e,2dr+Cz = Г—^-, С, = const.
J 1 + Т"
(III Л 56) (Ш.15в)
Существенной ПОСТОЯННОЙ В ЭТОМ решении является Cl. Если Ci=O, то кривизна мира равна нулю, а гравитационное поле отсутствует. Если C1=^=O, го кривизна мира отлична от нуля и сингулярна в центре симметрии г|=0. Следовательно, область изменения функции Т|—[0, оо).
Пусть на внешней границе Ss источника, совпадающей с внешней границей Emat вещества, r=R, а все события P>2mat, т. е. r>R, принадлежат области D1 мира. Метрика мира в Dx должна
199*удовлетворять условию галилеевости на пространственной бесконечности, а на больших расстояниях от источника — закону Ньютона всемирного притяжения, согласно с принципом соответствия 2. Из первого следует C2= 1, а второе условие означает, что С і = —а = —2 уМ (здесь M — полная масса источника). Впрочем, постоянная C2—она появляется при интегрировании (III. 4 б) — несущественная, и, как уже отмечалось, может быть задана наперед изменением масштаба временной координаты (в том числе и на пространственной бесконечности). Поэтому
D1 (Р > Snut).
Ч* = *'(I-JL)1 (111.16а)
= (1^t)' (шл6б)
i+yrrz
I
е*1*НгЛ-Г —ъ lA а і а
dr +Cl=ZflW i-jl+-?-in- -(111.16b)
V 4 «-/i-г
tJ
C4 = const.
Формулы (111.16 a) и (III.16 б) выражают в D1 решение Шварц-шильда. Действительно, достаточно из (III.16 а) выразить ё*dr2 и подставить в (III. 3) вместе с (III. 16 6), чтобы получить стандартное решение Шварцшильда. Формула же (III. 16в) выражает в явной форме остающийся произвол в выборе радиальной координаты координатной сетки.
Решение Шварцшильда имеет исключительно важное свойство — его формальное продолжение до центральной сингулярности лишено какого-либо физического смысла. Мировая линия сингулярности в решении Шварцшильда имеет пространственноподоб-ный характер, а сама сингулярность окружена горизонтом событий Tj = а (сферой Шварцшильда), в событиях которого отсутствуют временноподобные интервалы. Но в области мира, включающей в себя мировую линию центра симметрии, внешнее решение (III.15) сохраняет физическую значимость, если постоянная Ci положительная. В этом случае мировая линия центральной сингулярности имеет временноподобный характер, а горизонты событий отсутствуют (голая сингулярность). Пусть эта область мира обозначена через D3 (в D3 события P>os) и пусть в D3 осуществляется внешнее решение С положительной Cl- Очевидно, что области D1 и D3 не могут иметь общей границы, так как на ней внешнее решение С положительной Cl не может быть гладко сшито с решением Шварцшильда. А именно, первая производная функции Я не удовлетворяет условию (III. 12), если Сі>0 и Сі<0 на разных сторонах границы. Но они имеют общие границы с областью