Общая теория относительности и тяготения - Арифов Л.Я.
Скачать (прямая ссылка):
Детерминант этой системы отличен от нуля, поэтому
X = Q4 (И.70а>
K=O, (11.706)
Z = 0. (11.70b )
188* Из (И. 69 а) и (II. 70 а) следует равенство
m(l -acosо^) +acosaf), (11.71)
а из (II. 69 б) и (И. 70 б) — соответственно
mW+mW = С, (11.72)
причем
да cos a
Подставляя в (11.71) и (11.72) функции т к W9 получаем
a cos a (р -f ~р) + Vl + a2 cos2 a (р — р) =а cos aе~9С, (11.73)
{р+р) + 7 gC0Sg {р^р)+псп,адЛі±І1 +
* ' дз cos2 а Hi да cos a ^
+ (11.74)
здесь р — показатель замедления, в котором произведена замена аргумента a cos a —a cos a. Сумма (p + P ) является четной, а разность (р — р) — нечетной функциями a cos а, поэтому
(р+р)а Cosa=O= 2Ро> (Р-Р)а Cosa=O = 0.
д(р-р) _2 dP
да Cosa |acosa=0 ctocosa |ас08в=і*
Подставляя эти выражения в уравнение (II. 74) для плоскости a cos a=0, получаем значение С:
е~*С = 2(р0+ йдр , V
V '® dACOSa |0=ж0 J
Производную показателя замедления среды в точке а cos a=0 можно отыскать, если применить принцип локальной обратимости к формулам (11.63) и (11.64) преломления лучей на границе вакуум — среда. Уже из линейного приближения следует равенство
л др 1 =1 -Po. (11.75)
да cos a |As0 ^0 V /
Следовательно,
е~?С = 2.
189* Уравнение (II. 73) теперь позволяет полностью выразить нечетную часть показателя замедления через его четную часть:
=v, т.. №»>
Уравнение (II. 74) удовлетворяется в силу (II. 76) и не содержит дополнительных ограничений на показатель замедления.
Показатель замедления вакуума как оптической среды, равный единице, удовлетворяет равенство (11.76), именно поэтому формула отражения лучей на границе в вакууме обратима относительно падающего и отраженного лучей.
Теорема 47. Нечетная часть зависимости показателя замедления изотропной оптической среды от направления распространения луча выражается через ее четную часть формулой (11.76). В этом и только этом случае законы отражения и преломления на границе удовлетворяют принципу локальной обратимости лучей.
Следствие 17. В слабом метрическом поле показатели замедления и преломления изотропной оптической среды выражаются равенствами (11.65), а скорость света в среде определяется формулой
(Скорость света ) = wQ ( е~?)а=«~а cos * (П 77) (в оптической Среде/
справедливой в линейном приближении по малому параметру a cos а < 1.
В частности, во вращающейся системе отсчета в линейном приближении ф~0, а—сог, поэтому формулы (11.65) совпадают с (11.51) и (11.54). Последние были получены в § 26 )из анализа опыта Гарреса. Здесь они выведены теоретическим путем. Таким образом, опыт Гарреса находит свое теоретическое объяснение с точки зрения наблюдателя, покоящегося на вращающемся теле (а не в инерциальной системе отсчета). Оно заключается, как и в случае опыта Саньяка, в анизотропности скорости света.
§ 29. групповая скорость
Распространение электромагнитной волны в вакууме характеризуется двумя скоростями — фазовой и лучевой. Фазовая скорость
=J-; (11.78)
описывает процесс переноса волной фазы вдоль нормали к фронту, а лучевая скорость
vee (11.79)
190* описывает перенос энергии вдоль луча. Направление лучевой скорости совпадает с направлением вектора Пойнтинга. Различие направлений фазовой и лучевой скоростей в заданной системе отсчета объясняется анизотропностью вакуума в присутствии метрического векторного поля а. Лучевой скорости можно придать и другой смысл, а именно, скорости переноса фазы вдоль луча.
При наличии оптической среды этих двух скоростей недостаточно для описания распространения электромагнитной волны. Дисперсия приводит к тому, что скорости переноса фазы и энергии не совпадают уже и по абсолютному значению. Перенос энергии определяется групповой скоростью Vg. Обычно, когда отсутствует явление анизотропности, под групповой скоростью понимается (Борн, Вольф, 1970). Это определение имеет смысл,
когда частота волны зависит от абсолютного значения волнового вектора и не зависит от его направления. Согласно же релятивистским уравнениям дисперсии (11.18) для вакуума и (11.43) изотропной оптической среды, частота зависит от направления волнового вектора, поэтому обычное определение групповой скорости теряет смысл. Но можно заметить, что первое из уравнений лучей (11.21) или (11.44) является, по существу, строгим определением групповой скорости, пригодным и в том случае, когда частота зависит от направления волнового вектора. Если обозначить компоненты групповой скорости через Vg9 то
^ = ?". (11.80) В елучае, когда v=v(A), имеем
dkt ~~ dk к f
поэтому
I-* I rfv
X0A = Tk
ж соответствии с обычным определением групповой скорости.
Для вакуума, согласно уравнению дисперсии (II. 18),
vg = vce. (11.81)
Групповая скорость в вакууме совпадает с лучевой, поскольку дисперсия отсутствует. В синхронных системах отсчета совпадают все три скорости.
Для групповой скорости в изотропной оптической среде с дисперсией можно записать формулу
кг?
a2 sin2 ас
4 = / ашпч * (п-82а>
"(!+дїїїт)
