Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Хк = аРк, Yk = VPk, Zk=IPk;
1*к = Рк(1Ук — $2к), Mk = Pk(UZk-^xk), Nk = Pk^xk-аук). Отсюда, полагая
Р=Р1+Р2+ ... +Р„ = 2^,
где сумма распространена на все векторы системы, получим следующие выражения для проекций главного вектора и главного момента:
Х=аР, Y = рР, Z = -\Р; L = T 2 РкУк — P 2 PkZk' M = а 2 PkZk — T 2 РкХк> ^ = р 2 РкХк—^РкУк-
Непосредственно убеждаемся в справедливости соотношения
LX+ MY -\-NZ = 0.
Следовательно:
если Psg 0, то система эквивалентна одному вектору;
если Р— О, L?M1N"1 > 0, то система эквивалентна одной Царе;
если P = 0, L=^M = Af = О, то система эквивалентна нулю. ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•43
Отсюда получаем необходимые и достаточные условия эквивалентности системы нулю:
Vc n ^lPkXk JPkyk JPkZk
Zif"-0' —я— = —р— = —,— •
Примечание. В частном случае, когда
JiPk= о, 2рл=о, Jpkyk = о, Jpkzk = o,
предыдущие условия будут выполняться, каковы бы ни были а, ?, Система будет эквивалентна нулю, какое бы направление ни задавать параллельным векторам, если только при этом не изменять отношения их величин и точек приложения. Говорят, что в этом случае система параллельных векторов находится в астатическом равновесии.
Центральная ось. Результирующий вектор. Пусть Тогда система эквивалентна одному вектору, алгебраическое значение которого равно P и проекции которого суть аР, ?P, fP. Этот вектор лежит на центральной оси. Для краткости мы будем называть его результирующим вектором системы.
Уравнения центральной оси в рассматриваемом случае принимают вид
у Z — zY — L = 0, zX—xZ — M = 0. xY — yX—N=0,
так как общее значение отношений, которые образуют уравнение этой оси, обращается в данном случае в нуль. После подстановки найденных ранее значений X, Y, Z, L\ М, N получим:
откуда
PX-JiPkXk Py-JiPkyk PZ-JiPkZk
Полагая здесь
?
получим
(
X-Z у — Т] z — Z,
'—(D) ? T ' к '
т. е. уравнение прямой D, проходящей через точку С с координатами S;, TJ, L и параллельной заданным векторам.
Когда все векторы скользят вдоль их линий действия, прямая D не изменяется, так как не изменяются величины X, Y, Z, L, М, N. Координаты точек приложения xk, ук, Zk изменяются; поэтому точка С(?, TJ, С) перемещается, но она описывает центральную ось D заданных параллельных скользящих векторов, вдоль которой скользит результирующий вектор. 44
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
V. Связанные векторы; шесть координат связанного вектора; центр параллельных связанных векторов.
Векторные производные
30. Шесть координат связанного вектора. Вириал. Мы назвали связанным всякий вектор, приложенный в определенной точЛе пространства.
Например, главный момент AG какой-нибудь системы скользящих векторов относительно некоторой точки А есть вектор, связанный с этой точкой А.
Для аналитического определения вектора AiBi, связанного с точкой Ai, необходимо задать три координаты xv yit Zi точки Ai и три проекции Xi, Yi, Zi вектора, всего шесть независимых величин, составляющих координаты связанного вектора.
Ниже, при изложении понятия работы, а затем в третьем томе, мы будем заниматься исследованием векторного поля„ т. е. системы связанных векторов, приложенных в различных точках некоторой непрерывной области пространства.
Вириал. В п. 12 мы видели, что скользящий вектор имеет пять координат. Чтобы определить связанный вектор, достаточно добавить к пяти координатам этого вектора, рассматриваемого как скользящий, шестую величину, не зависящую от них. Эта величина может быть взята, например, равной вириалу Клаузиуса относительно некоторой заданной точки Р.
Пусть AV=V—вектор, связанный с точкой А. Возьмем какую-нибудь точку Р, которую мы будем рассматривать как конец вектора AP = г. Тогда вириал v вектора V относительно точки P есть скалярное произведение
v=Vr cos Vr
векторов Vnr. Если принять точку А за начало прямоугольной системы координат и обозначить через X, Y, Z проекции вектора V, а через X, у, г координаты точки Р, то
V = Xx+ Y у +Zz.
Имеет место следующая теорема:
Если два геометрически равных вектора имеют одинаковые моменты M и одинаковые вириалы v относительно одной только точки Р, то они приложены в одной и той же точке, т. е. они идентичны.
Допустим, что эти векторы суть AV и A'V и они приложены в разных точках А и А'. Так как моменты равны, то эти векторы лежат на одной прямой AA'. Кроме того, из равенства вириалов вытекает
^Pcos PAV = ArP cos PAJV', ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•45
и, следовательно, проекции PA и PA' tri AA' равны по величине и знаку, т. е. точка А совпадает с точкой А'.
Следовательно, связанный вектор может быть определен своим вириалом относительно некоторой точки P и пятью своими координатами, если рассматривать его в качестве скользящего вектора.
31. Центр системы параллельных связанных векторов. Мы видели (п. 29), что система параллельных скользящих векторов с отличной от нуля геометрической суммой эквивалентна одному результирующему скользящему вектору, лежащему на центральной оси D системы.
