Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Остановимся теперь более подробно на периодическом движении колебательной системы часов, которое, как мы видели, существует только при Х^>г или, что то же самое, при М0^>/0. Приравнивая Zi2 и zij в выражениях (3.51а) и (3.516), мы получим для амплитуды автоколебаний балансира:
Для вычисления периода автоколебаний заметим, что изображающие точки двигаются по фазовым траекториям — полуокружностям — с угловой скоростью относительно их центров, равной единице2). Поэтому время пробега (в единицах безразмерного времени) изображающей точки по той или иной дуге полуокружности, составляющей предельный цикл, равно величине центрального угла этой дуги и период автоколебаний (также в единицах безразмерного времени) равен
где T1 и и — T2 — центральные углы дуг ab и be предельного цикла
') Мы получили то же самое выражение для амплитуды автоколебаний, что и в случае часов с балансиром без «собственного периода» (см. (3.44)). Это полностью объясняется консервативностью момента пружины балансира — йср. Действительно, поскольку работа спускового механизма за период автоколебаний равна 4Af0tp0, а работа кулоновских сил трения за тот же промежуток времени равна 4/0ср, уравнение баланса энергии запишется в виде 4M0Cf0= Af0^, независимо от того, имеет балансир пружину или нет, так как работа пружины за период автоколебаний равна нулю. Из этого уравнения баланса энергии мы получим для обоих типов часов:
®) Действительно, квадрат фазовой скорости согласно уравнениям (3.49) равен Jt2 + у- = у2 + [х -j- (— 1)" X + г sgn у]8 = R2 — квадрату радиуса соответствующей полуокружности; поэтому угловая скорость движения изображающей точки равна единице.
(3.54)
или в обычных угловых единицах')
ё Mo <Р = <Ро? = To-?-.
т = 2 (u -f- T1 — т2),
8* 1 228 НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. IlI
(рис. 151). Очевидно, T1 и т2 удовлетворяют неравенствам: О<-Ч<у и 0<т,О,
и определяются соотношениями:
1 + X + г 1 — X 4- г „ ,,,
COST1=^j-!- И COST2 = =-1—. (3.55)
і + ')'+ Г S + X — г
T- 1 + Х+г^ 1 — X+Г , „
1ак как =Tj- -, то T1-Qx, и период автоколебаний
ї + Х + г с+Х-г' ^
т = 2тг — 2 (т2 — T1) < 2тг. (3.56)
В обычных единицах период автоколебаний равен
Он всегда меньше периода свободных колебаний балансира (или маятника).
Посмотрим, как зависит период автоколебаний T от параметров
, Xr
часов: от X, т. е. от силы заводного механизма, и от — = 5, т. е. от
коэффициента трения, причем сделаем это для наиболее интересного для практики случая малых X и г (г <\ X 1) >). При заданном ? и
X, г—О T1, Tsi-T0 = Brccosi, а т — 2тг. При X, г 1, очевидно, имеем
ї
следующие приближенные соотношения:
_sinTo,(Ti_To)^l+X + r_l_jf-l)(X + r)
5 + X + г 5 5 (; + X + г) и, пренебрегая в знаменателе X-(-г по сравнению с I,
г».
(С-1)(Х + г) . S2 sin T0 '
аналогично
..о і 0+1 )fi-r)
') Как и в предыдущем пункте, мы будем считать, что наибольший момент сил трения покоя /о пропорционален силе давления зубьев ходового колеса на палетты балансира или, иначе, силе заводного механизма. Тогда отношение
¦—=5 не будет зависеть от силы заводного механизма, а будет определяться
коэффициентом трения между поверхностями зуба ходового колеса и скобы балансира. § 6] СВОЙСТВА ПРОСТЕЙШИХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ 229
и, следовательно,
: 2те — 41
: 2-гг
(3.57)
так как sin т
Г 1 г 1
0 = у 1 -j- у. График зависимости хот у = у (при
по-
стоянном X) дан нарис. 155 ^при у= —— = Oj. Рассматривая х как функцию X и у = -Li нетрудно получить следующие выражения
К'const
¦tju I
Рис. 155.
для стабильности хода часов при изменении силы заводного механизма и коэффициента трения:
Sm =
2Х /I
- =r const
2л
Sf— г
__ дт
2и I or
г3
-2 — X*
(3.58)
X = const
Как видим, стабильность хода часов тем лучше, чем меньше г и X, т. е. чем меньше трение в колебательной системе часов и чем слабее воздействие на нее со стороны спускового механизма по сравнению с моментом Atp0. Во всяком случае, стабильность хода часов с балансиром, «обладающим собственным периодом», может быть сделана значительно более хорошей, чем стабильность часов с балансиром без «собственного периода» [23].
§ 6. Свойства простейших автоколебательных систем
На частных примерах часов и лампового генератора (с характеристикой, состоящей из прямолинейных отрезков), рассмотренных в предыдущих параграфах, мы познакомились с основными чертами весьма многочисленных и практически весьма важных устройств, которые 1 230
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
целесообразно объединить в отдельный своеобразный класс, именно класс автоколебательных систем. Общей чертой этих систем является их способность совершать автоколебания, т. е. такие колебания, амплитуда которых, с одной стороны, в течение долгого времени может оставаться постоянной, а с другой стороны, вообще говоря, не зависит от начальных условий и определяется не начальными условиями, а свойствами самой системы. К числу таких автоколебательных систем следует помимо рассмотренных нами (часы и ламповый генератор) относить, например, электрический звонок, всевозможные генераторы пилообразных и разрывных колебаний, дуговой генератор электрических колебаний, целый ряд музыкальных инструментов, как-то: духовые и смычковые инструменты и т. д. При известных условиях автоколебания могут возникнуть в передней подвеске автомобиля (так называемое явление «шимми» колес автомобиля). Автоколебательными системами являются и периодические переменные звезды типа цефеид [124, 54—56].
