Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
*) Написано Н. А. Железцовым.
а) Сила заводного механизма и силы трения являются наиболее сильно меняющимися параметрами часов. Например, сила пружинного завода уменьшается по мере раскручивания пружины, а силы трения заметно зависят от положения часов. Это приводит к некоторому изменению периода колебаний часов. Между тем наиболее удовлетворительная из рассмотренных нами ударная модель часов с кулоновским трением привела к автоколебаниям, период которых не зависит ни от силы удара (т. е. от сил заводного механизма), ни от сил трения.
8) Значительный вклад в развитие динамики часов сделан за последние годы в работах Н. Н. Баутина [22—25, 27, 28].
4) Такой спуск, иногда называемый еще «крючковым», находит себе применение в стенных часах, будильниках и т. п. По динамике этому спуску аналогичен «шпиндельный» спуск, который применялся в наиболее ранних конструкциях часов, в частности в часах Гюйгенса. 1 214
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
сиром или маятником часов. Тем самым заводной механизм через спусковое устройство (через ходовое колесо и скобу) создает некоторый момент сил М, приложенный к балансиру и зависящий от взаимного расположения ходового колеса и скобы. На рис. 142, а изображено
а) 61 ?j
Рис. 142.
среднее положение вилки балансира (ср = 0), при котором ходовое колесо, соприкасаясь зубом A1 с правой палеттой H1 скобы, поворачивает балансир в направлении против вращения часовой стрелки (это направление мы примем за направление положительных ср). Это ускоренное движение балансира будет продолжаться до тех пор, пока балансир не повернется на некоторый угол ср0 (рис. 142, б) и зуб A1 не соскочит с палетты IJ1 (угол 2ср„ называется «углом подъема» балансира). После соскока зуба A1 с палетты IJ1 балансир будет продолжать двигаться в направлении положительных ср, а ходовое колесо, освободившись от балансира, придет в быстрое ускоренное движение (ускорение тем больше, чем меньше момент инерции ходового колеса). При этом движении зуб Ai и левая палетта IJi скобы идут навстречу друг другу'), и через некоторый малый интервал времени зуб Ai нанесет балансиру через палетту Яа встречный удар. После установления контакта зуба Ла с палеттой /7а ходовое колесо будет создавать на оси скобы отрицательный момент, тормозящий движение балансира в положительном направлении. Но балансир по инерции может повернуться еще на некоторый угол в положительном направлении, заставляя ходовое колесо сделать некоторый «отход назад» (отсюда и название спуска), и лишь затем начнет движение в обратном направлении, разгоняясь моментом, приложенным через палетту /7а со стороны ходового колеса (рис. 142, в). Балансир проходит среднее положение (ср = 0), и при достижении угла ср = — ср0 зуб Л2 соскакивает с палетты Пг. После «падения ходового колеса»
') Это — так называемое «падение ходового колеса». Угол Д нарис. 142,0 называется углом падения ходового колеса. § 5] ТЕОРИЯ ЧАСОВ. БЕЗУДАРНАЯ МОДЕЛЬ
215
в соприкосновение с палеттой Пх приходит зуб Ai, движение балансира в направлении отрицательных ср тормозится и затем начинается движение в положительном направлении (ф^>0), и т. д. Таким образом, ходовое колесо подталкивает балансир дважды за каждое его колебание и, совершая некоторую положительную работу, компенсирует потери энергии в колебательной системе из-за трения.
Исследование динамики часов с таким спусковым устройством довольно затруднительно [16, 22]. Поэтому для упрощения задачи мы перейдем к модели часов с одной степенью свободы, которая получается в предположении, что момент инерции ходового колеса Ik равен нулю1). При таком предположении «падение ходового колеса» после каждого соскока зуба с палетты скобы будет происходить мгновенно и всегда одна из палетт, или правая Пь или левая Ili, находится в контакте с каким-либо зубом ходового колеса.
Кинематика спускового устройства, как мы видели, такова, что при cpsg — ср0 с зубом ходового колеса контактирует только правая палетта Пх, при ср^-[-ср0 — только левая палетта Ili, а при
— cPo <С cP cPo может контактировать любая из палетт. При контакте зуба ходового колеса с палеттой Пх момент сил М, создаваемый ходовым колесом на оси балансира, больше нуля, при контакте с палеттой Ili момент М<^0. Поэтому момент сил, развиваемый ходовым колесом на оси балансира, УИ = M(Cp) является на интервале
— cPo <С ? kC Ч- cPo двузначной функцией угла поворота балансира ср(УИ^>0 или М<^0 в зависимости оттого, какая из палетт контактирует с зубом ходового колеса).
Это налагает известные ограничения на характер фазовой поверхности для рассматриваемой динамической модели часов. Действительно, в качестве такой поверхности мы не можем взять обычную плоскость с декартовыми координатами ср и ф 2), так как задание точки на ней (ср, ф), где —То <С ? <С Ч-То. не определяет однозначно сил, действующих в системе, и, следовательно, не определяет однозначно состояния системы. В соответствии с двузначностью зависимости момента M от ср фазовой поверхностью может служить «плоскость с наложениями» (рис. 143), состоящая из двух наложенных друг на друга полуплоскостей: (I) ср ср0 и (II) ср — ср0. Первая из них соответствует контакту зуба ходового колеса с правой палеттой Пх, вторая — с левой палеттой Ili. Точки такой двулистной фазовой поверхности и состояния системы соответствуют уже взаимно
