Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
221
Для выяснения устойчивости найденного предельного цикла построим на единой диаграмме кривые v = v (S) и V1 = d1(S) (если по оси ординат откладывать не v и V1, а Vі a v\, то мы получим две прямые, изображенные на рис. 147). Точка их пересечения является неподвижной точкой точечного преобразования. Зада- нгнг димся любым V (нарис. 147 для определенности взято d^>d); по прямой (3.43а) определим S и затем по прямой (3.436) определим V1, по V1 как по новой, исходной точке преобразования найдем S1 и V3 и т. д. Построенная «лестница Ламе-рея» сходится к неподвижной точке в силу того обстоятельства, что прямая d3 = = 2(1 +F)(S— 1) идет
Uf--Zlt-FHbfI
I ?, ?
Рис. 147. круче, чем прямая d1 =
= 2 (1 —^)(?+ 1), т. е. последовательность V, dllu2, da, ... сходится к d при любых d^>d. Точно тэк жє онэ буДЄ'г сходиться kd и при D<^D. Это доказывает устойчивость найденного единственного периодического движения балансира часов, доказывает, что это движение будет устанавливаться при любых начальных условиях.
Амплитуда автоколебаний балансира дается формулой (3.44) или в обычных угловых единицах
Cp = Cp0S:
M „
Для вычисления периода автоколебаний обратим внимание на то обстоятельство, что предельный цикл (он изображен на рис. 146) состоит из четырех дуг параболы, на каждой из которых ускорение балансира у постоянно. На дуге параболы ab ускорение y = \-\-F и, следовательно, время пробега изображающей точки по этой дуге предельного цикла равно
_ V
xiTfT =
аналогично, на дуге be .у = 1 — F и время пробега равно
V
= F=T-
Поэтому период автоколебаний (в единицах безразмерного времени) равен
:2(Т, + X2):
4 у2
уЩ
(3.4U) 1 222
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
или в обычных единицах
T= 41/? ¦ 1 (3.47)
У mO VF(I-Fsi) '
Как видим, период автоколебаний балансира зависит как от силы заводного механизма, так и от силы трения. Силе заводного механизма пропорционален момент сил M0, развиваемый спусковым устройством. Но ей же пропорциональны и давление, оказываемое зубьями
(с известной степенью точности) момент сил сухого трения, действующий на балансир, т. е. /0. Поэтому с той же степенью точности мы можем считать, что коэффициент F, а значит и амплитуда автоколебаний $ или ф не зависят от силы заводного механизма и определяются, в основном, коэффициентом трения зуба ходового колеса о палетту. Период автоколебаний зависит и от Al0 и от F (графики зависимости T от Alu и F даны на рис. 148 и 149). Количественной мерой стабильности хода часов при изменении силы заводного механизма и коэффициента трения могут служить величины
9 1 с _ 1
Mo I дТ I >
F дГ
T OF Mo — COIlSt
T IdAIoIz7=Const
которые показывают, во сколько раз относительное изменение периода автоколебаний меньше относительного изменения того или иного параметра часов. Как легко подсчитать, исходя из формулы (3.47),
Sm= 2 и S^ = Iij. (3.48)
Наилучшая стабильность хода часов при изменении коэффициента
(дТ \ 1
Sf = CQ или ^.= 0) получается при F=-^t однако стабильность хода при изменении силы заводного механизма всегда невелика (Sm=2). § 5] ТЕОРИЯ ЧАСОВ. БЕЗУДАРНАЯ МОДЕЛЬ 223
2. Модель часов с балансиром, обладающим «собственным периодом». Перейдем теперь к рассмотрению модели часов, на балансир которых кроме сил трения и сил, действующих со стороны спуска, действует еще сила, «притягивающая» его к среднему положению (колебательной системой часов является или балансир с пружиной или маятник и она имеет «собственный период», т. е. может совершать колебания при отсоединенном спусковом устройстве).
Уравнение движения колебательной системы таких часов можно записать в виде
'?+**=/(*.
где все обозначения имеют тот же смысл, что и в предыдущем пункте, а —Acp является моментом сил пружины балансира1). Это уравнение
для движущегося балансира (^щ ф oj, если ввести новые переменные * = 'нов = «•>«'= У* '
и безразмерные параметры часов
X = j^ И Г = А,
я^о «То
можно записать в виде следующей системы двух дифференциальных уравнений первого порядка:
х=у,
у = — JC — г Sgnj/ — X (— 1)",
где, как и раньше, п — номер палетты, контактирующей с зубом ходового колеса," и точкой вверху обозначено дифференцирование по новому времени (очевидно, по-прежнему листом (/) двулистной фазовой поверхности, соответствующим контакту правой палетты /7, с зубом ходового колеса, является полуплоскость -}-1 илистом (II), соответствующим контакту левой палетты Пг, — полуплоскость — 1).
Рассмотрим фазовые траектории на листе (/) (по-прежнему фазовые траектории на листе (II) симметричны (относительно начала координат) с траекториями на листе (I)). Прежде всего найдем состояния равновесия. В силу того, что мы учитываем силы сухого, кулоновского трения, равновесие наступит во всяком состоянии, в котором осциллятор неподвижен = О или у = oj, а сумма моментов сил пружины и спускового механизма не превышает максимального момента
(3.49)
1) Это уравнение, конечно, справедливо и для часов с маятником при малых углах отклонения маятника от его среднего, вертикального положения, что в часах всегда имеет место. 1 224
