Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Те же результаты мы получим, рассматривая модель часов с двумя подталкивающими ударами за каждое колебание (при X =—/0 _у ~>0 и при jc = --j— /о 0). И в этом случае предположение, что при каж-
дом ударе балансиру сообщается одно и то же количество движения (Д (у) = a = const), не может отобразить основных свойств часов, именно, существования устойчивых периодических колебаний. Если же предположить, что каждый удар увеличивает кинетическую энергию балансира на определенную, всегда одну и ту же величину, т. е. что при ударе Д (.у2) =/г2 = const, то для скоростей после ударов получается функция последования
1*1 = (®i — 2/о)2 -j- /г2,
где V1 и г>2 — заданная и последующая скорости балансира после ударов (под V1 и г»а здесь понимаются абсолютные значения скоростей). § 4] ТЕОРИЯ ЧАСОВ. МОДЕЛИ С УДАРАМИ
211
Иначе говоря, модель с двумя ударами ведет себя так же, как и модель с одним ударом за период, но с вдвое меньшим трением: при Л^>2/0 существует единственное устойчивое периодическое движение, которое устанавливается при всех скоростях после удара X)i^>2/0; если же D1 то система приходит в одно из состоя-
ний равновесия. Картина на фазовой плоскости для модели часов с двумя ударами за период в предположении, что закон удара выражается соотношением (3.36) и что Л^>2/0, изображена на рис. 138.
Замкнутая разрывная кривая abcda является устойчивым (разрывным) предельным циклом, который соответствует периодическим автоколебаниям колебательной системы (балансира, маятника) часов.
Все те выводы, к которым мы пришли, рассматривая разные предположения о законе трения и характере толчков, могут быть пояснены простыми энергетическими соображениями. Для этого нужно лишь иметь в виду, что при линейном трении энергия, рассеиваемая за период, пропорциональна квадрату амплитуды, а при постоянном трении она представляет собой линейную функцию амплитуды. С другой стороны, при ударе по закону U1 — U0 == Ди0 = const энергия, поступающая в- систему за период, возрастает на величину
\ (г», + Au0)4 - 2P = у (2и0Ди0 + Дг»5),
т. е. (так как Au0 = Const) является линейной функцией амплитуды. При ударе же по закону — ^i=Const энергия системы 1 212
НЕКОНСЕРВАТИВНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. IlI
возрастает за период на постоянную величину. После этого сразу становятся ясными основные полученные нами результаты. Всякий периодический процесс возможен только при условии, что энергия системы по прошествии периода имеет ту же величину, что и в начале периода.
Потери энергии
Поступление энергии
//мллитуда
Потери энергии
Поступление энергии
Амплитуда
Стацион. амппитуда
Рис. 139.
Стацион. амплитуда
Рис. 140-
Потери энергии
Посмотрим, может ли быть соблюдено это условие в разных рассмотренных нами случаях. В первом случае («линейное трение» и удар по закону к,—D0 = const) потери энергии растут пропорционально квадрату амплитуды, а поступление энергии в систему есть линейная функция амплитуды. Ясно, что где-то и только при одной определенной амплитуде наступает баланс энергии и существует только одна стационарная амплитуда (рис. 139). Во втором случае (линейное трение и удар по закону mv\ mvl
----2^ = const) потери пропорциональны квадрату амплитуды, а поступление энергии — постоянная величина. Опять-таки существует только одна стационарная амплитуда, при которой имеет место баланс энергии (рис. 140). В третьем случае (постоянное трение и удар по закону V1— V0= const) и потери и поступление энергии — линейные функции амплитуды. Следовательно, либо вообще нет стационарной амплитуды, либо таких стационарных амплитуд бесконечное множество.
Поступление энергии
Стацион. амплитуда
Рис. 141.
Амплитуда § 5] ТЕОРИЯ ЧАСОВ. БЕЗУДАРНАЯ МОДЕЛЬ
213
Наконец, в четвертом случае (постоянное трение и удар по закону
fflljS ffllf- \
--^=Constj потери энергии есть линейная функция амплитуды, а поступающая энергия имеет постоянную величину, и снова возможна только одна стационарная амплитуда, для которой наступает баланс энергии (рис. 141).
§ 5. Теория часов. Безударная модель «спуска с отходом назад» г)
В предыдущем параграфе мы рассмотрели несколько простейших ударных моделей часовых механизмов, пользуясь которыми мы смогли объяснить некоторые основные свойства часов: существование единственного периодического движения и необходимость начального толчка конечной величины для возбуждения этих колебаний, т. е. жесткий режим (последнее потребовало учета сухого трения в колебательной системе часов). Однако эти модели, являясь примитивными, не могут отобразить весьма важных количественных характеристик часовых механизмов, в частности, не могут объяснить зависимость периода колебаний часов от силы или момента сил заводного механизма и от сил трения a).
Для того чтобы получить зависимость хода часов, т. е. зависимость их периода, от параметров, что, например, необходимо для выяснения условий, когда эта зависимость наименьшая, а стабильность хода часов наибольшая, требуется более детальное рассмотрение динамики часов с учетом основных, характерных особенностей того или иного типа часового механизма и, в частности, примененного в нем спускового устройства3). Мы рассмотрим ниже при определенных упрощающих предположениях динамику часов, снабженных так называемым «спуском с отходом назад» 4). Схема этого спуска приведена на рис. 142. Ходовое колесо, связанное через систему шестерен с заводным механизмом, своими фигурными зубьями соприкасается с концами (палеттами) скобы, находящейся на одной оси с балан-
