Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
3) Третий, переходный (между первым и вторым) случай соответст-
вует значению X=—. Легко видеть, что в первом случае при воз-
а2
растании X обе особые точки сближаются и при X = — сливаются. Этот процесс Сближения особых точек изображен на рис. 90. Оче-
видно, что для
X = ^-
получается
только одна особая точка (рис. 91) типа, соответствующего случаю, когда потенциальная энергия системы имеет точку перегиба. Таким образом, этот тип особой точки можно рассматривать как результат слияния центра с седлом. Такая особая точка соответствует неустойчивому состоянию равновесия. В этом (третьем) случае периодические движения также невозможны. При всех начальных условиях провод движется с беспредельно возрастающей скоростью по направлению к бесконечному проводнику. Усы / и //, проходящие через особую точку, разграничивают два типа движений, отличающихся друг от друга тем, что при движениях первого типа (в начальный момент система находится в области, ограниченной прямой х = а и усами / и II) про-к прямой X = а, не проходя через положение равновесия; при втором типе движений (в начальный момент система находится вне области, ограниченной усами / и II и прямой X = а) провод AB всегда проходит через положение равновесия.
4) Рассмотрим, наконец, последний сличай, Х<^0 (изменение знака может быть достигнуто переменой направления одного из токов і или /). В этом случае всегда существуют два действительцых корня уравнения /(х, Х) = 0. Из этих двух корней Slt9 =^-± J/^ —
Рис. 91.
вод AB (рис. 85) движется
один
всегда отрицателен, а другой больше а. Оба состояния равновесия (X1 <^0, X2 > а) являются центрами и устойчивы; остальные интегральные кривые замкнутые и охватывают или первое или второе состояние равновесия, причем линией, разделяющей эти два типа § 6] УРАВНЕНИЯ ДВИЖЕНИЯ 141
замкнутых кривых, является «особая» линия х = а (рис. 92). Таким образом, в случае все движения провода AB суть колебатель-
ные, периодические.
Рис. 92.
Приведенные примеры в достаточной степени поясняют вопрос о зависимости характера движений в консервативной системе от параметра, и теперь мы можем перейти к дальнейшим вопросам, возникающим при рассмотрении консервативных систем.
§ 6. Уравнения движения
До сих пор мы рассматривали только простейшие консервативные системы. Теперь мы перейдем к более сложным.
Для составления уравнений движения более сложных консервативных систем удобно воспользоваться уравнениями Лагранжа второго рода. Обозначая через L(q, q) некоторую функцию (пусть это будет однозначная функция координаты q и скорости q), которую назовем лагранжевой функцией, мы получим уравнение Лагранжа в таком виде:
d fdL\ dL = 0 (2>40)
dt \dq J dq
Уравнение это инвариантно по отношению к любому преобразованию координаты- q\ другими словами, это значит, что, полагая q=f(ср), мы снова получим уравнения типа (2.40), т. е.
d_ fdL\ _dL_() dt j d'f ~
Эта инвариантность уравнений Лагранжа представляет большое преимущество, так как она дает возможность сразу написать уравнения 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
движения для любых выбранных координат, если известна лагранжева функция системы. Для обычных консервативных механических систем (при условии, что система отсчета инерциальна) лагранжева функция представляет собой разность кинетической и потенциальной энергий; точно так же в простейших электрических системах лагранжева функция представляет собой разность магнитной и электрической энергий, если в качестве обобщенных координат выбраны интегралы от независимых контурных токов q = §i dt (в контурах, содержащих конденсаторы, q, очевидно, являются зарядами на этих конденсаторах). Особенно удобно пользоваться уравнениями Лагранжа для составления уравнений движения электромеханических систем ').
Однако следует заметить, что не всегда лагранжева функция может быть представлена как разность двух энергий; в таких случаях не всегда оказывается возможным указать наперед «физический» рецепт составления функции Лагранжа, а можно лишь чисто аналитически, путем специального подбора функции L, привести уравнения движения к требуемой форме. Известно, что для уравнения Лагранжа в случае автономной консервативной системы можно написать так называемый «интеграл энергии», который выражается так:
qd^-L = h. (2.41)
Простым дифференцированием нетрудно убедиться, что производная по времени левой части этого равенства обращается в нуль в силу уравнения Лагранжа. Однако выражение (2.41) не всегда означает энергию системы в физическом смысле этого слова. Вводя наряду с
координатой q вторую переменную так называемый им-
пульс, и составив функцию
H = pq — L = H(j), q), (2.42)
так называемую функцию Гамильтона, мы можем уравнение движения (2.40) привести к двум дифференциальным уравнениям первого порядка:
Aq^_дН_ dp_ дН
dt dp ' dt dg
(2.43)
которые носят название уравнений Гамильтона. Гамильтонова форма уравнений движения представляет существенные преимущества при рассмотрении ряда вопросов математики, астрономии и физики. Ряд методов интегрирования уравнений движения связан именно с этой формой.
