Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Помимо самого факта существования периодических движений нас всегда должен интересовать вопрос, устойчивы ли эти движения. Поэтому при рассмотрении периодических движений мы должны строго сформулировать понятие устойчивости движения, подобно тому как мы сформулировали понятие об устойчивости положений равновесия. Мы примем определение устойчивости движения, данное Ляпуновым и вполне соответствующее обычному определению устойчивости состояний равновесия, приведенному в гл. I, § 3.
Периодическому движению соответствует движение представляющей точки по определенной замкнутой фазовой траектории. Окружим эту точку некоторой малой областью s, которая движется вместе с представляющей точкой. Если при заданной сколь угодно малой области є мы можем указать такую область 8 (г), что всякая представляющая точка, лежащая в начальный момент в этой области 8 (s), никогда не выйдет за пределы области е, то рассматриваемое движение устойчиво по Ляпунову. Более наглядно мы можем сформулировать это условие устойчивости следующим образом. Пусть движение подверглось некоторому возмущению — система испытала некоторый мгновенный толчок в произвольном направлении. Тогда представляющая точка сместится и будет продолжать движение уже по некоторой другой траектории. Представим себе, что при этом толчке представляющая точка«почернела» (рис. 101). Тогда исходное невозмущенное движение, устойчивость которого мы исследуем, т. е. движение, которое происходило бы, если бы не было толчка, будет изображаться движением светлой представляющей точки, а движение после толчка — возмущенное, изображается движением черной представляющей точки. 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
Теперь условие устойчивости движения можно сформулировать следующим образом. Если черная точка, находящаяся в начальный момент (сразу после толчка) достаточно близко к светлой (т. е. если возмущение достаточно мало), всегда остается к ней достаточно близкой, то движение, изображаемое светлой точкой, устойчиво по Ляпунову 1J.
Нетрудно видеть, что, вообще говоря, движение в консервативной системе неустойчиво по Ляпунову, ибо в общем случае период обращения представляющей точки по различным интегральным кривым различный. Вследствие этого светлая и черная точки, несмотря на ма-
и после некоторого числа периодов получится картина, изображенная на рис. 102. Правда, потом они снова начнут сходиться, но все же при сколь угодно малом (но отличном от нуля) начальном расстоянии расстояние между ними не всегда будет меньше заданного. Расстояние между светлой и черной точками не будет возрастать по сравнению с начальным в том специальном случае, когда черная и светлая точки движутся по одной траектории, т. е. когда возмущение таково, что представляющая точка при толчке перескакивает по самой траектории (заметим кстати, что этот специальный тип возмущения может быть осуществлен только при вполне определенном соотношении между изменением координаты и изменением скорости). Но этот случай отнюдь не противоречит нашему утверждению о неустойчивости движения, ибо речь шла об области 8(e), между тем участок траектории не представляет собой такой области.
Периодические движения в консервативной системе будут устойчивы по Ляпунову только в специальном случае, когда имеет место изохронизм, т. е. когда период обращения один и тот же для различных траекторий. Но и в этом случае мы не будем иметь абсолютно устойчивых замкнутых траекторий, т. е. таких траекторий, к которым представляющая точка после достаточно малого возмущения будет снова асимптотически приближаться. Этот тип траекторий в консервативных системах с одной степенью свободы вообще невозможен.
См. также определение устойчивости периодического движения по Ляпунову в гл. V, §§ 6, 7, где изложены аналитические методы исследования устойчивости, правда, пригодные лишь для неконсервативных систем. § 7] ОБЩИЕ СВОЙСТВА КОНСЕРВАТИВНЫХ СИСТЕМ 151
С ним мы столкнемся только при рассмотрении неконсервативных систем. Хотя, как мы только что видели, периодические движения в консервативных системах, вообще говоря, неустойчивы по Ляпунову, однако они все же обладают некоторым видом устойчивости. Именно — достаточно близкая траектория всегда лежит целиком в непосредственном соседстве с рассматриваемой. Такой вид устойчивости носит название орбитной устойчивости; эта устойчивость играет существенную роль в общей теории поведения интегральных кривых.
2. Однозначный аналитический интеграл и консервативность. До сих пор мы рассматривали такие консервативные системы, для которых справедливы уравнения Гамильтона. Между тем с точки зрения характера фазовой плоскости, или в более общем случае фазовой поверхности, а следовательно, и характера возможных движений в системе было бы естественно к числу консервативных отнести также и некоторые системы, для которых уравнения Гамильтона несправедливы. Мы дадим поэтому более общее определение консервативных систем и установим некоторые свойства консервативных систем, которые из этого определения вытекают.
