Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
') Мы предполагаем обычное расположение осей координат: ось х направлена вверх, а ось X — вправо. § 5] ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ОТ' ПАРАМЕТРА 129
и наоборот. На рис. 73 такая смена устойчивости происходит в точках А, В и С.
Итак, мы видим, что при изменении параметра X состояния равновесия в конечной части фазовой плоскости могут исчезать и появляться только парами, причем (и это отличительная особенность консервативных систем) состояние равновесия может изменить свою устойчивость, например из устойчивого превратиться в неустойчивое, только предварительно слившись с другим состоянием равновесия.
В смысле смены устойчивости состояния равновесия консервативных систем образуют замкнутую систему, поведение которой при изменении параметра можно изучать отдельно от поведения сепаратрис.
Те значения параметра, при которых состояния равновесия сливаются или уходят в бесконечность, конечно, принадлежат к бифуркационным значениям параметра, но, вообще говоря, ими не исчерпываются все бифуркационные значения, так как могут быть существенные изменения в характере сепаратрис при неизменном числе и характере состояний равновесия.
Относительно бифуркационных значений этого второго типа мы не будем высказывать никаких общих соображений, а познакомимся с ними на отдельных конкретных примерах, которые мы сейчас рассмотрим. На этих же примерах мы проиллюстрируем все сказанное выше относительно бифуркационных значений, в которых происходит изменение в характере состояний равновесия.
I. Движение тяжелой точки по окружности, вращающейся вокруг вертикальной оси. Рассмотрим движение тяжелой точки массы т по окружности радиуса а, когда эта окружность вращается вокруг своего вертикального диаметра с постоянной угловой скоростью 2 (рис. 74). Примером такой консервативной системы может служить маятник, колеблющийся на вращающейся платформе.
Положение точки (массы т) будем определять углом 0 в системе координат, связанной с вращающейся окружностью. Для написания уравнения движения тяжелой точки в такой вращающейся, неинерциальной системе координат в виде второго закона Ньютона необходимо, как известно, ввести силы инерции, в данном случае центробежную силу. Момент силы тяжести относительно центра окружности равен —/я^-asino; центробежная- сила равна ffz22asin{), а ее момент -f-w29a2 sino cos Поэтому, пренебрегая
5 Теория колебаний
Рис. 74. 1 16 КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. Il
силами трения, получим следующее уравнение движения рассматриваемой системы:
/^ = /и2ааа sin & cos & — mga sin (2.27)
at*
где I=Iud1— момент инерции тяжелой точки (относительно центра окружности). Если ввести безразмерный параметр
X— 8
и новое, безразмерное время
t = Qt
нов
(ниже дифференцирование по новому времени обозначается точкой сверху), то уравнение (2.27) приведется к виду, содержащему один параметр:
& = ш, w = (cos & — X) sin (2.28)
Для того чтобы на примере консервативной системы (2.28) проиллюстрировать качественное изменение характера сепаратрис при изменении параметра и без изменения числа особых точек, мы будем считать, что параметр X может принимать любое значение — оо<^Х<^ -f- оо, несмотря на то, что для рассматриваемой физической системы Х^>0, а значения Хг^О не имеют физического смысла *).
Поскольку положение тяжелой точки однозначно определяется углом фазовой поверхностью рассматриваемой системы опять бу-ает цилиндр (мы будем изображать фазовые траектории на развертке этого цилиндра). Уравнение интегральных кривых получим, разделив одно из уравнений (2.28) на другое:
du>__(cos Ь — X) sin ft „д.
do a K-J
Интеграл энергии запишется так:
ш2 — (sin2 » + 2Xcos») = A (2.30)
(из (2.30) сразу видно, что интегральные кривые симметричны относительно осей 0 и ш).
Положения равновесия определяются уравнением
/(&, X) = (cos& — X)sin»=0. (2.31)
Очевидно, система имеет положения равновесия & = 0 и & =
¦) Заметим, что значение X = I получается при 2= , т- е. при
совпадении угловой скорости вращения окружности с круговой частотой малых колебаний массы т около нижнего положения равновесия (при-Q = Ot. § 5] ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ОТ' ПАРАМЕТРА
131
существующие при любом X. Кроме ТОГО, при I X I 1 существуют еще два положения равновесия О = -]- O0 и 0 = — O0, где O0 = arc cos X. На рис. 75 изображена бифуркационная диаграмма для положений равновесия
(штриховка и обозначения 9
на ней имеют тот же смысл, что и в предыдущем примере). Таким образом, при X -}- 1 система имеет две особые точки: центр (0 = 0, о) = 0) и седло (S) = ± тс, о) = 0); при — 1 < X 1 — четыре
особые точки: центры (0 = = ±0о. <» = 0) и седла (0 = 0, ш = 0) и (O = Zbrc, ш = 0); наконец, при
— 1 — снова две особые точки: центр (0 = ± тг, ш = =0) и седло (0 = 0,(1) = 0).
Для определения сепаратрис воспользуемся тем обстоятельством, что каждая сепаратриса проходит через соответствующую особую
0< А<1
Рис. 75.
Сепаратриса В
Рис. 76.
точку типа седла, в которой константа интеграла энергии h легко может быть вычислена. Уравнение одной из них, проходящей через седло 1 16
