Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
— tngl<^h<^-\-mgl. Эти фазовые траектории, очевидно, соответствуют периодическим колебаниям маятника около нижнего положения равновесия без проворота вокруг оси. При константе интегрирования h = -\- mgl получается интегральная кривая, проходящая через седло (±іг, 0), т. е. состоящая из седла и его сепаратрис (первому соответствует верхнее, неустойчивое положение равновесия, а последним — лимитационные движения маятника, при которых маят-
ник асимптотически при t —-]- оо приближается к верхнему положению равновесия). Для mgl получаем траектории, лежащие вне сепаратрис и охватывающие цилиндр. Так как для каждой такой траектории значения ш при 9—»--j-n и при О —— и совпадают, то мы можем утверждать, что эти траектории также замкнуты (они соответствуют периодическим вращательным движениям маятника). «Склеив» развертку цилиндра по линии разреза 9 = Нги, мы получим фазовый портрет маятника — фазовый цилиндр, разбитый на фазовые траектории (рис. 71). Таким образом, все фазовые траектории консервативного маятника, кроме особых точек — центра и седла и сепаратрис седла, замкнутые, причем имеются два качественно отличных типа фазовых траекторий: охватывающих и не охватывающих фазовый цилиндр. § 5] ЗАВИСИМОСТЬ ПОВЕДЕНИЯ СИСТЕМЫ ОТ' ПАРАМЕТРА 125
§ 5. Зависимость поведения простейшей консервативной системы от параметра
Мы уже говорили, что консервативная система представляет собой исключительную систему в том смысле, что для нее существует интеграл энергии. Иначе говоря, если мы произвольным образом, хотя бы и сколь угодно мало, будем менять вид уравнений движения, то эти уравнения, вообще говоря, перестанут удовлетворять условию консервативности. Мы, однако, сейчас будем рассматривать только такие изменения параметров, характеризующих нашу систему, при которых она остается консервативной. Для простоты предположим, что у нас есть только один переменный параметр и что от этого параметра зависит только потенциальная энергия системы.
Наша задача будет заключаться в исследовании того, как меняется вид фазовой плоскости при изменении параметра. Мы не будем затрагивать важный вопрос о том, как будет вести себя какое-нибудь определенное движение, имеющее определенные начальные условия, при достаточно медленном изменении параметра ').
Основными элементами, определяющими качественную картину интегральных кривых для консервативных систем, являются особые точки и сепаратрисы. Если мы знаем вид сепаратрис (особые точки типа седла суть точки самопересечения сепаратрис) и относительное расположение сепаратрис и состояний равновесия типа центра, то мы можем воспроизвести в общих чертах всю картину интегральных кривых.
При изменении параметра интегральные кривые будут меняться. Однако, если, как мы предположим, потенциальная энергия является аналитической функцией параметра, то эти изменения будут совершаться непрерывно. Общий вид интегральных кривых будет претерпевать, вообще говоря, только количественные изменения, и лишь при некоторых особых, так называемых «бифуркационных» значениях параметра мы будем иметь качественные изменения характера интегральных кривых. Как мы уже сказали, в случае консервативной системы основными элементами, определяющими качественную картину интегральных кривых на фазовой плоскости, являются особые точки и сепаратрисы. Поэтому бифуркационными значениями параметра в этом случае служат те значения параметра, при которых происходит изменение числа или характера этих основных элементов.
') Ответ на этот последний вопрос особенно труден как раз для консервативных систем; в этом случае этим вопросом занимается так называемая теория адиабатических инвариантов. 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
Более точно и более общо можно дать такое определение, не связанное с консервативностью системы: значение параметра X = X0 мы назовем обыкновенным, если существует такое конечное є (е^>0), что для всех X, удовлетворяющих неравенству |Х — Х0|<^є, мы
имеем одну и ту же топологическую структуру разбиения фазовой плоскости на интегральные кривые. Другие значения параметров, для которых это условие не соблюдается, мы назовем бифуркационными.
Мы изложим сравнительно подробно развитую Пуанкаре [182, 183] теорию зависимости состояний равновесия от параметра, так как она нам понадобится при исследовании автоколебательных систем; другие бифуркационные случаи, связанные с зависимостью сепаратрис от параметра, мы лишь иллюстрируем примерами.
Предположим, что потенциальная энергия системы (2.1), а, значит, вместе с тем и сила, является функцией параметра X, который может принимать различные значения1). Положения равновесия (х = х) характеризуются тем, что для них сила равна нулю, т. е.
/(х, Х) = 0. (2.22)
Решая это уравнение относительно х, можно найти положения равновесия, которые имеет рассматриваемая консервативная система при том или ином значении параметра X, можно проследить, как меняются положения равновесия при изменении X.
