Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Заметим, что в дальнейшем нам придется встретиться с системами уравнений (подобных (2.2) или более общего вида), для которых условия теоремы Коши в некоторых точках фазовой плоскости нарушаются, например с такими динамическими моделями реальных физических систем, для которых правые части уравнений движения разрывны (таковы, например, колебательные системы с сухим, кулонов-ским трением). Для таких моделей наше утверждение об определении прошлого настоящим, вообще говоря, несправедливо. Точно так же мы уже не можем в таких случаях, вообще говоря, утверждать, что система не достигает состояния равновесия в конечное время. Заметим еще, что в таких случаях особые точки одного уравнения (подобного (2.3)) не всегда соответствуют состояниям равновесия.
§ 3. Исследование фазовой плоскости вблизи состояний
равновесия
Если мы знаем совокупность интегральных кривых на фазовой плоскости для какой-нибудь динамической системы, то мы получаем возможность сразу охватить всю картину возможных движений при различных начальных условиях. Для консервативной системы исследование этих интегральных кривых чрезвычайно облегчается тем, что уравнение (2.7) легко может быть проинтегрировано, так как переменные разделяются. Полученный интеграл имеет вид
4+V(Jf) = A, (2.7)
где V(jc) таково, что V (jc) = —/(jc), а А — константа интеграции. Это уравнение выражает для нашего случая закон сохранения энер- § 3] ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ВБЛИЗИ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ 109
гии. Действительно, есть кинетическая энергия, У(х)=»
X
=—^/(x)rfx есть взятая с обратным знаком работа действующих
в системе сил или потенциальная энергия системы, h — так называемая константа энергии, зависящая от начальных условий. Определенным начальным условиям (при ^ = O х = х0, у =уа) соответствует определенное h.
Если же мы зададим h, то одному и тому же значению h соответствует бесконечное множество состояний системы (х, у) — целая кривая _у = Ф(х) на плоскости х, у (которая может иметь ряд изолированных ветвей), называемая кривой равной энергии. По одной из ветвей этой кривой и будет двигаться изображающая точка, если полная энергия рассматриваемого движения равняется h. Может случиться, что, задав h, мы не найдем действительных значений х w у, которые удовлетворяли бы уравнению (2.7). Это означает, что ни при каком действительном движении нашей системы энергия ее не может иметь этой величины.
В дальнейшем исследовании мы будем предполагать, что f(x), а значит, и V(x)— аналитические функции на всей прямой х. (Впоследствии мы рассмотрим несколько примеров, где это не будет иметь места.)
Нам будет удобнее вести исследование, предполагая, что функция V (.хг) задана. Заметим, что те значения X = X1,... ,X = Xi (абсциссы особых точек), которые обращают /(х) в нуль, обращают в нуль и V'(x). Следовательно, эти значения соответствуют экстремальным значениям потенциальной знеріии V(x), т. е. либо минимуму, либо максимуму, либо точке перегиба с горизонтальной касательной. Можно провести классификацию характера особых точек уравнения (2.3), исходя из экстремальных свойств потенциальной энергии в особых точках.
Прежде чем перейти к этой задаче, сделаем несколько общих замечаний, касающихся вида интегральных кривых на фазовой плоскости:
1) Уравнение (2.7) не меняется от згмены у на —у. Следовательно, все кривые этою семейства симметричны относительно оси x.
2) Геометрическое место точек, где касательные к интегральным кривым вертикальны, — это, как легко видеть из (2.2), ось х, за исключением, может быть, особых точек.
3) Геометрическое место точек, где касательные к интегральным кривым горизонтальны,—это прямые, параллельные оси у, уравнение которых x = xi, где х,- — корни уравнения /(х) = 0, за исключением, может быть, точек пересечения этих прямых с осью x, которые являются особыми точками.
Можно указать простой способ построения интегральных кривых на фазовой плоскости, если нам задана, как мы будем предполагать 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
в дальнейшем, потенциальная энергия К(х). С этой целью воспользуемся вспомогательной «плоскостью баланса энергии» с прямоугольными осями jc, Z, на которой отложим потенциальную энергию z = V(jc). Так как
= h-V(X),
то если задана А — полная энергия, то кинетическая энергия представится в виде разности А и V(jc). Как мы уже говорили, если кинетическая энергия отрицательна, то соответствующее движение невозможно.
На рис. 57 изображен участок диаграммы баланса энергии для частного вида кривой z=V(x). Чтобы получить интегральную кривую на фазовой плоскости '), которая для удобства изображена непосредственно под диаграммой баланса энергии, нужно последовательно извлекать из разностей A—V(jc) квадратные корни и откладывать их на фазовой плоскости вниз и вверх от оси jc. При построении не следует забывать, как это только что было указано, что все интегральные кривые на фазовой плоскости пересекают ось jc, имея вертикальную касательную, если только они ее не пересекают в особой точке а).
