Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Вернемся, однако, к вопросу об энергии, компенсирующей потери в системе. Как для электрических, так и для механических систем картина с этой точки зрения получается одна и та же. В случае генератора энергия поступает в контур из анодной батареи, а электронная лампа является лишь тем механизмом, который регулирует нужным образом поступление энергии в контур. В механических же системах, к которым могут быть применены все наши выводы, источником энергии является мотор, приводящий в действие ленту или вал, а передача этой энергии в колебательную систему обусловливается соответствующим видом характеристики трения. Именно, вид характеристик трения таков, что лента или вал больше «помогают» телу при движении в ту же сторону, чем «мешают» при движении навстречу. Если бы в генераторе мы выбрали такое включение катушек, которое соответствует отрицательной обратной связи (УИ<^0), или в механических моделях установили бы рабочую точку не на падающий, а на поднимающийся 94
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
участок характеристики трения, то энергия из батареи или мотора не переходила бы в колебательную систему, а, наоборот, часть энергии колебаний рассеивалась бы во вспомогательном механизме (в лампе — на аноде или в подшипнике — на преодоление трения). Затухание колебаний в системе не только не уменьшилось бы, но, наоборот, возросло, если бы направление обратной связи было выбрано неправильно.
В заключение отметим (хотя эти вопросы и не будут рассматриваться в нашей книге), что в случае действия внешней силы на систему с обратной связью (например, на регенеративный приемник) также можно получить ответ на некоторые вопросы, оставаясь на почве линейной идеализации. Например, в случае h 0, т. е. в случае недовозбужденного регенератора, и слабых сигналов, т. е. в случае воздействия, не выводящего систему из области, в которой ее можно рассматривать как линейную, можно считать, что обратная связь только уменьшает затухание системы (увеличивает ее чувствительность и избирательность), не изменяя «линейных» свойств системы. Однако для достаточно сильных сигналов это утверждение будет уже неправильно.
§ 7. Линейная система с отталкивающей силой
До сих пор мы рассматривали линейные системы, в которых действует квазиупругая сила, т. е. сила, притягивающая к положению равновесия и пропорциональная смещению системы. Во всех рассмотренных случаях варьировался характер трения, но сила оставалась притягивающей. Между тем часто приходится сталкиваться с системами (и с точки зрения теории колебаний эти системы представляют значительный интерес), в которых действует сила, не притягивающая к положению равновесия, а, наоборот, отталкивающая систему от положения равновесия, причем величина этой отталкивающей силы возрастает с возрастанием смещения системы. При рассмотрении этих систем прежде всего возникает вопрос о том, какова зависимость отталкивающей силы от смещения. Как мы увидим ниже при рассмотрении некоторых частных примеров (и как это вытекает из общих соображений о разложении произвольной функции в ряд), в области достаточно малых отклонений можно считать, что отталкивающая сила пропорциональна смещению. При таком предположении мы приходим к линейным системам, в которых действует не притягивающая, а отталкивающая сила. Поведение этих систем (характер их движений) существенно отличается от поведения линейных систем, рассмотренных выше.
В качестве первого примера, приводящего к линейной системе с отталкивающей силой, рассмотрим поведение математического маятника в непосредственной близости к верхнему (неустойчивому) положению равновесия. При этом мы сначала для простоты будем § 7] ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОТТАЛКИВАЮЩЕЙ СИЛОЙ
07
считать, что трение в маятнике отсутствует. В этом случае, если угол ср отсчитывать от верхнего положения равновесия (рис. 50), уравнение движения маятника напишется так:
т-Щ = tngl sin <р. (1.66)
Ограничивая рассмотрение областью, достаточно близкой к положению равновесия, можно sin <р заменить через <р. Тогда уравнение принимает вид
Ip _ -I9 = O. (1.67)
Мы получили опять линейное дифференциальное уравнение второго порядка. Это уравнение, как и уравнение, полученное для области, близкой к нижнему положению равновесия, конечно, не описывает движения маятника при любых углах <р и пригодно только для достаточно малых значений <р.
1. Картина на фазовой плоскости. Уравнение, к которому приводит рассматриваемый нами случай, в общем виде может быть написано так:
О
х — лд: = 0, (1.68)
где и>0 ^ для маятника п = ~ J. Для исследования поведения системы, описываемой этим уравнением, можно было бы выбрать любой из путей, использованных в предыдущих задачах, именно либо найти решение уравнения (1.68) и затем рассматривать найденное решение x=f(t) и х = = f(t) как параметрическое уравнение интегральных кривых, либо, не интегрируя уравнения (1.68), исключить из него время, затем проинтегрировать и рассматривать Рис. 50. полученное уравнение как уравнение интегральных кривых. Используем сейчас этот второй путь. Полагая х=у, мы можем заменить это уравнение второго порядка двумя уравнениями первого порядка:
