Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
nix -(- bx -(- kx = F (ті0— х), (1.58)
где, как уже было указано, Z7(D) = Z7(T)0—х)—функция, характеризующая зависимость силы трения от относительной скорости V, или, иначе, характеристика трения. Не прецизируя вида функции Z7(T)0 — х), можно ограничить рассмотрение областью, в которой |х|<т.0 (например, выбрав достаточно большое ті0), в этой области разложить функцию Z7 в ряд вблизи значений ti0 и ограничиться одним первым членом ряда. Тогда Z7(ti(, — х) = Z7(tz0)—JcF (т>0) ..., и при этом ограничении уравнение движения примет вид
тх 4- [Ь -j- F (г»0)] X -f kx = Z7 (т-0). (1.59)
Стоящий справа постоянный член обусловливает только смещение
F (V0)
положения равновесия на величину —в направлении движения
ленты. Что же касается коэффициента b -(-Z7r(ti0), стоящего при x, то его знак и величина зависят от вида характеристики трения; величина Z7r(Ti0) представляет собой угол наклона характеристики трения в точке Ti0 и в случае падающей характеристики трения F (ti0) <^0. Если характеристика трения в области ti0 спадает достаточно круто, то b F (ti0) 0 и уравнение (1.59) описывает систему с «отрицательным трением». Практически этот случай довольно легко реализовать, так как характеристики трения сухих поверхностей имеют обычно' вид, изображенный на рис. 42, и, значит, почти всегда имеют вначале, при малых скоростях, более или менее значительный участок достаточно крутого спадания. В этой области наше устройство и будет представлять собой линейную систему с «отрицательным трением». Нужно, однако, иметь в виду, что мы пришли к линейной системе с отрицательным трением, ограничившись областью, где I x I ti0. Это ограничение, как мы увидим в дальнейшем, является
Рис. 41. 84
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
весьма принципиальным и при рассмотрении интересующих нас вопросов будет играть очень существенную роль.
Другим примером механической системы, в которой «трение» в известной области отрицательно, может служить так называемый маятник Фроуда [117, 63, 116]. Устройство этого маятника та-
ково: на равномерно вращающемся с угловой скоростью Q подвешен с некоторым трением обычный маятник (рис. Уравнение движения этого маятника будет отличаться от уравнения движения обычного маятника только тем, что в этом уравнении должен быть учтен момент силы трения вращающегося вала о подшипник, на котором подвешен маятник. Так как сила трения зависит от относительной скорости трущихся поверхностей, т. е. в нашем случае ог относи-
fm
валу 43).
Рис. 42.
Рис. 43.
тельной угловой скорости вала и маятника (2 — ср), то момент силы трения можно написать так:
F(Q — ср).
Учитывая, помимо трения маятника о вал, сопротивление воздуха и считая, что оно пропорционально скорости 6, мы получим уравнение движения маятника в следующем виде:
/ср —j— ^cp —j— mgl sin ср = F (2 — ср).
(1.60)
Состояния равновесия (ср = ср0, ср = 0), очевидно, определяются уравнением
mgl sin Cp0 = Z7(Q).
Рассмотрим движение маятника вблизи нижнего состояния равновесия (для него cos ср0 0). Положим
T = Te + ^
где ф —малая величина (малой будем считать и скорость ф = ср). Разложим нелинейные функции sin ср и ^(2 — ср) в ряды по степе- § 6] ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С «ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ТРЕНИЕМ» 85
ням ^ и ф; ограничиваясь линейными членами, мы получим линеаризованное уравнение малых колебаний маятника в виде:
ц [b -fp (Q)] ф Ar mgl Coscp0 . .1, = 0. (1.61)
Если F (Q) 0 и по абсолютной величине больше Ь, то коэффициент при 'і будет отрицателен. В некоторой области значений Q, где характеристика трения спадает достаточно круто, при достаточно малом b можно достигнуть того, что А-[-P (Q) станет отрицательным, и мы получим уравнение, аналогичное уравнению обычной системы с трением:
X -f- 2hx -j- (U0JC = О,
но с той разницей, что коэффициент h будет отрицателен, т. е. мы снова получим линейную систему с «отрицательным трением». Мы видим, следовательно, что при надлежащем выборе V0 в первой системе и Q во второй можно осуществить механическую систему, которую в определенной ограниченной области можно рассматривать как линейную систему с отрицательным трением').
2. Электрический пример. Вполне возможно также осуществить и электрическую систему, «сопротивление» которой в известной области отрицательно. Примером такой системы может служить ламповый генератор, т. е. схема с электронной лампой, колебательным контуром и «обратной связью». Для определенности рассмотрим простейшую схему генератора с индуктивной обратной связью и колебательным контуром в цепи сетки (рис. 44)2), пренебрегая сеточными токами. При выбранных положительных направлениях токов и положительной полярности конденсатора для колебательного контура можем (на основании законов Кирхгофа) написать следующие уравнения:
„ dv „. .dl ,. dl„
^—представляет собой э.д.с. обратной связи, наводимую
J) Примером механической системы с «отрицательным трением» может также служить колебательная система с однофазным асинхронным мотором [44].
s) Заметим, что аналогичное рассмотрение можно провести для генератора с индуктивной обратной связью и колебательным контуром в цени анода. Мы не будем рассматривать других схем лампового генератора, так как их рассмотрение либо не дает ничего принципиально нового, либо приводит к дифференциальным уравнениям третьего порядка, т. е. к системам с полутора степенями свободы, и таким образом выходит за пределы настоящей книги. 86
