Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Таким образом, на начальном этапе движения (при 0 ^ t =? х) скорость осциллятора с малой массой весьма быстро меняется (тем быстрее, чем меньше масса) от начального значения X0 до значений, близких к получаемым из решения уравнения (1.47). Изменение координаты за этот промежуток времени х, само собой разумеется, стремится к нулю вместе с X (или, что то же самое, вместе с tri)').
') Длительность этого начального этапа движения т, в течение которого происходит быстрое изменение скорости, по порядку величины совпадает с у :
за время -у первый, главный член в выражении (1.54) уменьшится в е раз
(е=»2,7), а через время 5 — примерно в 150 раз. 74
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
Совершенно ясно, что движение осциллятора с малой массой на этом этапе движения с быстрыми изменениями скорости и, следовательно, с большими ускорениями не может быть отображено уравнением первого порядка (1.47), ибо существенную роль играет масса, даже сколь угодно малая (член тх не мал по сравнению с другими членами уравнения (1.14), несмотря на малость массы tri). Только после того, как осциллятор придет через время т в состояние, близкое к совместному с уравнением (1.47) (а это как раз и означает, что член tnx стал очень малым), скорость осциллятора перестанет быстро изменяться и его движение будет отображаться уравнением
Рассмотрим для пояснения сказанного движение осциллятора с малой массой при следующих начальных условиях: при / = O X = Xv, х=0 (эти начальные условия, конечно, не совместны с уравнением (1.47)). Пока X очень мало, член Ьх не играет роли, и, как следует из полного уравнения (1.14), ускорение определяется приблизительно выражением
и так как т очень мало, то ускорение в системе очень велико — скорость чрезвычайно быстро возрастает. Вместе с тем возрастает и сила трения, и все большая и большая часть силы пружины расходуется на преодоление трения. Вследствие этого ускорение системы становится все меньше и меньше, и в конце концов член тх перестает играть заметную роль. Дальнейшее движение системы уже может быть удовлетворительно описано уравнением первого порядка (1.47). К этому времени скорость приобретает такое значение, которое связано со значением координаты уравнением (1.47), так как при исчезновении члена тх устанавливается приблизительное равенство между членами kx и (— Ьх). Так совершается этот быстрый переход от состояния, не совместимого с уравнением (1.47), к состоянию, которое этим уравнением допускается. Мы проследили этот переход аналитически, пользуясь полным уравнением второго порядка (1.14) и его решением (1.52).
При этом мы убедились, что если т достаточно мало, то ускорения вначале очень велики и скорость изменяется очень быстро: система за очень короткий промежуток времени переходит в состояние, совместимое (конечно, с известной степенью точности) с уравнением первого порядка, причем этот промежуток времени настолько мал, что, несмотря на большие ускорения, координата системы не успевает сколько-нибудь заметно измениться.
3. Условия скачка. Как мы видели, при переходе к состоянию, совместимому с уравнением первого порядка, скорость системы изменяется очень быстро, координата же системы остается почти неизменной. Но если самый переход совершается достаточно быстро,
первого порядка (1.47) тем точнее, чем меньше § 5] ОСЦИЛЛЯТОР С МАЛОЙ МАССОЙ
75
нас часто не интересуют его подробности. Мы можем рассматривать этот быстрый переход как мгновенный скачок и ограничиться только определением того конечного состояния, в которое «перескакивает» система и начиная с которого поведение системы определяется уравнением первого порядка (1.47). Мы можем, следовательно, рассматривать систему как не обладающую массой, но должны применить иной метод рассмотрения всего процесса: должны дополнить дифференциальное уравнение первого порядка условием скачка, которое заменило бы нам прежнее рассмотрение кратковременного начального этапа движения, определяя то состояние, в которое приходит система быстрым, «мгновенным» переходом и начиная с которого справедливо уравнение первого порядка. Это условие скачка, по существу являющееся своеобразной формой учета малых параметров (в данном случае — малой массы осциллятора), существенных на начальной стадии движения, формулируется либо на основании рассмотрения системы с учетом этих малых существенных параметров (это регулярный метод), либо на основании тех или иных дополнительных физических соображений или экспериментальных данных').
Условие скачка для рассматриваемого случая можно, очевидно, сформулировать следующим образом. Если начальное состояние системы (заданы ха, х0) не удовлетворяет уравнению первого порядка (1.47), то система скачком переходит в состояние, совместное с этим уравнением, причем при скачке скорость системы х изменяется мгновенно, а координата х остается неизменной. После такого скачка начинается уже непрерывное движение системы, определяемое уравнением (1.47). Заметим, что здесь при формулировке условия скачка мы, в сущности, руководствовались результатами рассмотрения системы с помощью уравнения второго порядка (1.14), и наш постулат является только упрощенной формулировкой этих результатов.
