Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Мы скажем, что разбиение замкнутой области G1 на траектории системы (Л) е-тождественно разбиению замкнутой области Gf на траектории системы (Л*), если существует топологическое отображение G1 на Gf, переводящее траектории системы (Л) и траектории системы (А) друг в друга, при котором соответствующие друг другу точки находятся на расстоянии; меньшем е.
Пусть система (Л) определена в области G и пусть G1 — какая-нибудь замкнутая область, целиком (вместе с границей) содержащаяся в G. Система (Л) называется грубой в замкнутой области G1, если для любого е>0 можно указать 8>0 такое, что какую бы систему (Л), удовлетворяющую в области G неравенствам (б.б), мы ни взяли, найдется содержащаяся в области G замкнутая область G*, разбиение которой на траектории системы (Л) е-тождественно разбиению области G1 на траектории системы (Л).
Таким образом, в случае, когда система (Л) грубая, разбиение на траектории области G у всякой измененной системы (Л), правые части которой вместе с их частными производными достаточно близки к правым частям системы (6.5), топологически тождественно разбиению на траектории, заданному системой (Л), и, кроме того, мало сдвинуто (меньше чем на е) по отношению к разбиению на траектории, заданному системой (Л) (при этоме^>0 может быть взято сколь угодно малым). В частности, например, очевидно, что при достаточно малом ?^>0') и надлежащем 8^>0 в s-окрестности каждого состояния равновесия системы (Л) будет лежать одно и только
*) Именно !Три таком є > 0, что в е-окрестности всякого данного состояния равновесия системы (Л) кроме О не лежат уже больше другие состояния равновесия и в е-окрестности каждого данного предельного цикла системы (Л) не лежат другие предельные циклы. § 4] грубые системы 431
одно состояние равновесия системы (Л) и при этом того же характера, что и у системы (Л), и в Е-окрестности каждого предельного цикла системы (Л) один и только один предельный цикл системы (Л) и т. д.
Переходя к установлению необходимых и достаточных условий грубости, сделаем одно весьма важное замечание: ограничения, которые требование грубости накладывает на рассматриваемые динамические системы, таково, что они выделяют «общий случай». Другими словами, всякая наперед заданная система, вообще говоря, является грубой, в то время как негрубые системы являются исключительными системами (ср. также § 5 настоящей главы).
В дальнейшем, говоря о системе (Л), сколь угодно близкой к системе (Л), в сколь угодно малых добавках к правым частям системы (Л) или о сколь угодно малых изменениях динамической системы и т. д., мы всегда будем подразумевать малость не только самих функций р (х, у), q (х, у), но и их частных производных.
2. Грубые состояния равновесия. Установим прежде всего, какие ограничения накладывает требование грубости на существующие в этой системе состояния равновесия.
Имеет место следующая теорема:
Теорема I. У грубой системы не может быть состояния равновесия, для которого
Д =
Р'х(хп, j;0) Р'у (*0,j/0) Q-V (-V0, у0) Q1y (х0, у0)
:0.
Действительно, если состояние равновесия О (х0, у0) таково, что для него Д = 0, то это, очевидно, означает, что кривые Р(х,у) = О, Q(x, _у) = 0 в их общей точке 0(х№, уп) не просто пересекаются, а имеют соприкосновение того или другого порядка. Нетрудно показать '), что в этом случае всегда найдутся аналитические функции
Р(х, у), Q(x, у),
сколь угодно близкие (вместе со своими частными производными) к функциям Р(х, у), Q(x,y), такие, что в сколь угодно малой окрестности точки О (х0, _у0) (т. е. при любом сколь угодно малом є^>0) у кривых
Р(х, у)=0, Q(x,j/) = 0
') Точное аналитическое доказательство, хотя и не представляющее особых затруднений, мы опускаем ввиду геометрической наглядности этого факта. 432 качественная теория З'равнений второго порядка [гл. vi
будет существовать более одной общей точки. А это, очевидно, и означает, что система (Л) не может быть грубой, и следовательно, теорема доказана.
В случае, когда Д (х0,_у0) Ф 0, изоклины
Р(х,у) = 0, Q(x,y) = 0
в общей точке О (jc0, _у0) имеют простую точку пересечения (такие состояния равновесия называются простыми).
Нетрудно показать в этом случае, что если взять функции Р(х,у), Q(x,y), достаточно близкие (вместе со своими производными) к функциям Р(х, у), Q(x,y), то кривые Р(х, у) = О, Q(x,y) = 0 будут иметь ТОЛЬКО одну общую точку, близкую К точке O(X0J^0)1). Однако отсюда еще не следует, что условие Д ф О является достаточным для того, чтобы состояние равновесия было «грубым», т. е. могло существовать в грубой системе; мы уже видели, что линейная система, у которой состояние равновесия есть центр,— негрубая, хотя Д ф 0. Этот вопрос требует дополнительного рассмотрения, к которому мы и перейдем.
Перечислим состояния равновесия, возможные при условии Д^О. Если обозначить
П, , ЧІП'/ N л р'Лх0, у0) Q'x(x0, у0)
о = Рх(х0, y0)^Qy{x0, у0), Д= u
Py (X0, У0) Qy (X0, У0)
то, как мы видели выше (см. § 2 и 4 гл. V), возможны следующие случаи:
