Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Действительно, она не может пересечь ни кривую Ci (см. предложение V), ни предельное множество К, состоящее (в силу теоремы II § 2) из целых траекторий. Таким образом, теорема доказана.
В частности, из этой теоремы следует, что всякая полутраектория, стремящаяся к предельному циклу, орбитно-устойчива.
Перейдем теперь к выяснению того, когда замкнутая траектория является орбитно-устойчивой (т. е. неособой) и когда орбитно-неустойчивой (т. е. особой). Для этого отметим прежде всего, что для рассматриваемых нами динамических систем, т. е. систем с аналитическими правыми частями, могут представиться, как будет показано в следующем параграфе, следующие два случая:
1) либо все траектории, отличные ог данной замкнутой траектории L и проходящие через достаточно малую окрестность L, не замкнуты;
2) либо все траектории, проходящие через все достаточно близкие к L точки, замкнуты ').
Очевидно, первый случай имеет место, когда траектория L есть предельный цикл; второй случай — в консервативных системах.'
Теорема III. Замкнутая траектория L0, не являющаяся предельной ни для одной незамкнутой траектории, орбитно-устойчива.
Для доказательства теоремы докажем сначала, что все траектории, проходящие через точки, достаточно близкие к траектории L0, замкнуты. Действительно, если бы среди сколь угодно близких к L0 траекторий могли быть незамкнутые траектории, то тогда мы имели бы указанный выше случай 1), т. е. все траектории, кроме L0, проходящие через точки, достаточно близкие к L0, были бы не замкнуты. Но
') Может представиться еще одна логическая возможность, когда через сколь угодно близкие к L точки проходят как замкнутые, так и незамкнутые траектории. Например, последовательность замкнутых траекторий Li, вложенных одна в другую, может стягиваться к данной замкнутой траектории L, а между траекториями Li могут находиться незамкнутые траектории. Однако этот случай невозможен, когда правые части динамической системы — аналитические. функции.
14 Теория колебаназ 418
КАЧЕСТВЕННАЯ ТЕОРИЯ З'РАВНЕНИЙ ВТОРОГО ПОРЯДКА [гл. VI
тогда нетрудно видеть, что траектория L0 непременно является предельной траекторией для незамкнутой траектории. В самом деле, пусть е^>0 таково, что в в-окрестности L0 не лежит ни одного состояния равновесия и ни одной замкнутой траектории, кроме L0. Проведем через какую-нибудь точку P на L0 отрезок без контакта I. Пусть L' — какая-нибудь траектория, проходящая при t = t0 через точку O1 отрезка / столь близко к Р, что при некотором t^>t0, не выходя до этого из Е-окрестности L0, она пересекает отрезок I еще раз в точке Q2 (см. предложение VIIl § 2 настоящей главы). Обозначим через С замкнутую кривую, состоящую из дуги O1O2 траектории L' и части OiQi дуги I. Кривая С, а также кольцевая область G между С и L0 целиком лежат в в-окрестности L0. С другой стороны, либо при t<^l0, либо при траектория L' будет целиком лежать
в области G. Так как в силу выбора в в в-окрестности L0 нет ни одного состояния равновесия и ни одной замкнутой траектории, кроме L0, то из теоремы IV § 2 настоящей главы, очевидно, следует, что L0 является предельной траекторией для незамкнутой траектории L', что противоречит предположению. Следовательно, все траектории, проходящие через точки некоторой достаточно малой окрестности L0, замкнуты.
Но нетрудно видеть, что тогда все достаточно близкие к L0 траектории, в силу теоремы о непрерывной зависимости решений дифференциальных уравнений от начальных условий и в силу того, что они замкнуты, будут целиком лежать в в-окрестности L0. Это и означает, что L0 орбитно-устойчива. Теорема доказана.
В дополнение к приведенным теоремам сделаем ряд замечаний по поводу полутраекторий, стремящихся к состоянию равновесия.
В рассмотренных выше примерах мы видели, что такие полу-траектории могут быть как орбитно-устойчивыми (например, полутраектории, стремящиеся к узлу или фокусу), так и орбитно-не-устойчивыми (например, полутраектории, стремящиеся к седлу). В таких примерах состояние равновесия было простое: узел, фокус или седло. Можно показать в общем виде, не делая никаких предположений относительно того состояния равновесия, к которому стремится рассматриваемая полутрг:ектория (так что это состояние равновесия может быть как простым, так и сложным), что в случае, когда такая полутраектория орбитно-неустойчива, она непременно должна быть граничной для некоторой седловой области. Не проводя доказательства, остановимся все же на этом несколько подробнее.
Если полутраектория L%, стремящаяся к состоянию равновесия О, орбитно-неустойчива, то можно указать в0^>0 такое, что среди траекторий, проходящих через сколь угодно близкие к L точки, всегда найдется траектория, выходящая при возрастании t из є0-окрестности L. Рассмотрим г0-окрестность состояния равновесия О. Мы всегда можем предполагать в0 столь малым, чтобы в0-окрестность разбиение фазовой плоскости на траектории
419
О не содержала ни одного состояния равновесия кроме О, ни одной замкнутой траектории, а также не содержала бы точку M полутраектории Lm- Возьмем на L% точку Q, соответствующую t = т, такую, чтобы сама точка Q и все точки Lm, соответствующие значениям т, лежали бы в єп-окрестности состояния равновесия О. Проведем через точку Q отрезок без контакта I (целиком лежащий в єп-окре-стности О; см. рис. 297).
