Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
443
настоящей главы, что всякая отличная от L0 траектория, пересекающая отрезок I достаточно близко к точке Q, при t —*¦ со стремится к предельному циклу L0. Предельный цикл L0 является устойчивым (нечетно-кратным) предельным циклом.
Если W(fe) (s0) 0, то совершенно таким же рассуждением можно показать, что всякая траектория, пересекающая отрезок I достаточно близко в точке Q, при t—y — оо стремится к предельному циклу L0. Предельный цикл L0 является неустойчивым (нечетно-кратным) предельным циклом.
Пусть теперь k — четное. Тогда при всех s ф S0, в зависимости от знака Ww(S0), либо W (s) > 0, т. е. /(s) > S (если (s0)>0), либо W (s) < 0, т. е. /(s) < S (если W(k) (s0) < 0). Нетрудно показать, что в случае, когда Ч?-'*'(s0) 0, все траектории, проходящие через точки отрезка соответствующие значениям s<^s0, стремятся к L0 при t—>¦-f-оо, а все траектории, проходящие через точки отрезка /, соответствующие значениям s^>s0, стремятся к L0 при t—— оо, и наоборот, когда ?(,г) (s0) 0.
Очевидно, в рассматриваемом случае (четное k) предельный цикл L0 неустойчив. Однако часто предельный цикл этого типа называют «полуустойчивым» (четно-кратным), сохраняя термин «неустойчивый» лишь для цикла, к которому все достаточно близкие траектории стремятся при t—*¦ — оо.
При как в случае четного, так и в случае нечетного k,
предельный цикл называется также «сложным предельным циклом».
2) Производные всех порядков от функции ^ (s) при s = s0 обращаются в нуль, т. е. при любом і
?(i) (S0) = O.
Тогда, очевидно, при всех рассматриваемых s, в силу того, что функция W (s) — аналитическая функция,
W (s) = 0;
т. е. функция последования имеет вид:
S = S.
Это, очевидно, означает, что все траектории, проходящие через достаточно близкие к L0 точки, замкнуты.
Для того чтобы сообщить изложенному ббльшую наглядность, рассмотрим диаграмму Ламерея, т. е. рассмотрим плоскость с прямоугольными координатами s и s и на этой плоскости — кривую, представляющую функцию последования
S=Z(S),
и прямую S = S. Замкнутые траектории соответствуют значениям s, для которых
/(S) = S1 444 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
т. е. тем значениям s, при которых кривая s=/(s) имеет общую точку с прямой s = Если эта общая точка является простым пересечением, то соответствующая замкнутая траектория есть предельный
цикл, для которого ^j) Ф 1. Если эта общая точка есть точка соприкосновения того или другого порядка, то предельный цикл будет той или другой кратности. В частности, когда кривая s = /(s) совпадает с прямой s = s, имеет место случай 2).
Мы покажем, что замкнутая траектория, являющаяся ^-кратным предельным циклом (случай 1)) при ?^>1, и замкнутая траектория, в окрестности которой все траектории замкнуты (случай 2)), не могут существовать в грубой системе.
Сделаем предварительно некоторые замечания.
Отрезок являющийся отрезком без контакта для траекторий системы (Л), будет также отрезком без контакта и для траекторий всякой измененной системы (Л), достаточно близкой к системе (Л). Кроме того, если S1 и s2 (S1 S2) — значения параметра s, соответствующие отличным от концов хочкам отрезка /, то на основании теоремы IV Дополнения I нетрудно показать, что при всех значениях s, S1 ^s^S2 на I может быть определена соответствующая системе (Л) функция последования:
s=/(s).
На основании теоремы V Дополнения I нетрудно видеть, что эта функция f(s) и ее производная f'(s) сколь угодно мало отличаются соответственно от функции f(s) и ее производной /'(s), если система (Л) достаточно близка к системе (Л).
Принимая сказанное во внимание, естественно ожидать, что замкнутая траектория, у которой характеристический показатель h = О, т. е. в случае, когда и в случае 2), не может существовать
в грубой системе. Действительно, пусть R9—общая точка кривой s=/(s) и прямой s = s, соответствующая такой замкнутой траектории. Кривая s=f(s) либо имеет в точке R11 соприкосновение того или другого порядка с прямой s = s (случай 1)), либо совпадает с прямой s = s (случай 2)). Но в обоих этих случаях можно указать функцию S=/ (s), сколь угодно близкую к функции /(S) и с производной, сколь угодно близкой к /(s), такую, чтобы кривая s=/(s) в сколь угодно малой окрестности точки ^0 либо имела с прямой s = s более одной общей точки, либо (в случае, когда кривая s=/(s) имеет с прямой s = s соприкосновение четного порядка, см. рис. 313, а также в случае, когда она совпадает с прямой s = s) не имела бы ни одной общей точки с этой прямой. Если, кроме того, мы покажем, что существует измененная система (Л), сколь угодно близкая к системе (Л), для которой такая функция / (s) является функцией последования на отрезке I, то, очевидно, это будет означать, что § 4] грубые системы 445
при надлежащим образом выбранных, но сколь угодно малых изменениях правых частей системы (Л) рассматриваемая замкнутая траектория либо разделяется на несколько предельных циклов, либо исчезает (в случае четного Айв случае 2)). Отсюда, очевидно, будет следовать, что система (Л) не может быть грубой. Таким образом, доказательство того, что в грубой системе не может существовать А-кратного предельного цикла, при может быть проведено с помощью построения измененной системы (Л), для которой функция последования /(s) обладает нужными свойствами. Очевидно, такое доказательство (оно проводится ниже) весьма аналогично доказательству теоремы II.
