Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем к точному его изложению. Сформулируем сначала без доказательства одну вспомогательную лемму:
Лемма. Существует определенная в области Q функция
z = F (х, у),
имеющая непрерывные частные производные не менее чем до второго порядка и такая, что: 1) F (ср, <|0 = 0 (т. е. функция z = F (х, у) обращается в нуль в точках траектории L9)', 2) [F1x (ср, ^)]2 -(-
+ 15(?. W4 + 0-
Утверждение этой леммы имеет очень простой геометрический смысл. Именно, рассмотрим в пространстве х,у, z функцию z = F (х,у), обладающую указанными в лемме свойствами. Эта функция изображается гладкой поверхностью, которая проходит через траекторию L0, лежащую в плоскости х, у, и в силу условия 2) ни в одной точке L0 не касается плоскости х, уJ).
') Доказательство существования функции F (х, у), обладающей указанными в лемме свойствами, может быть, например, проведено следующим образом. Рассмотрим криволинейную систему координат, введенную в § 7, п. 3, гл. V (см. (5.55)). Кривые t) = const являются замкнутыми кривыми, причем, очевидно, кривая v = 0 — это рассматриваемая замкнутая траектория L0. В точках траектории L0, т. е. при г< = Ои всевозможных и, детерминант
D_ ?'(«)— vV'(u), —І'(U)
V (") + Vf" (и), <р' (U)
очевидно, не обращается в нуль. Поэтому в окрестности каждой точки траектории L0 можно найти и как функцию хну: и = Ф(х, у). Нетрудно убедиться в том, что функция и = Ф(х, у) — однозначная аналитическая функция, определенная в некоторой окрестности L0, а в точках L0 эта функция обращается в нуль. Кроме того, нетрудно показать, что для функции Ф (х, у) выполняются условия настоящей леммы. Функция Ф (х, у) была определена только в некоторой, вообще говоря, небольшой окрестности траектории L0. Однако, в силу известных теорем о продолжении функции (см. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления, Гостехиздат, 1951, Дополнение I), всегда можно указать функцию z=F(x,y), определенную во всей области, в которой определена система (Л), совпадающую с функцией Ф(х,^) в некоторой окрестности траектории L0.
Функция F (х, у) с указанными в лемме свойствами поможет построить измененную систему (А), обладающую нужными свойствами. 446 качественная теория уравнений второго порядка [гл. vi
/
Перейдем теперь к доказательству самой теоремы, устанавливающей необходимые условия для того, чтобы замкнутая траектория могла существовать в грубой системе, т. е. была «грубой замкнутой траекторией».
Теорема III. У грубой системы, не может существовать замкнутых траекторий, для которых
h=~ j ір'х (ь W + W=O.
о
Если для замкнутой траектории L0 системы (Л), параметрические уравнения которой
X = <?(t), y==b(t),
выполняется условие
/г = 0,
то в согласии с изложенным выше либо эта замкнутая траектория является сложным ^-кратным (?^>1) предельным циклом (случай 1)), и тогда существует окрестность L0, не содержащая кроме L0 больше ни одной замкнутой траектории, либо все траектории в окрестности L0 замкнуты. Рассмотрим сначала случай 1).
Для простоты предположим, что при выбранном на отрезке I параметре S точка пересечения этого отрезка с замкнутой траекторией L0 соответствует значению s = 0. Пусть, как и выше, s=f(s) — функция последования на отрезке / и ? (s) =f(s) — s. Очевидно, Ir (0) = 0; кроме того в рассматриваемом случае Ф*' (0) = W" (0) =... = IFlfc-1 * (0); Wtfc' (0) ф 0 (k может быть как четным, так и нечетным). Будем для определенности предполагать, что *F(fc) (P) 0 (в случае tFtfc' (0)<^0 рассуждение полностью аналогично).
Доказательство утверждения теоремы будет дальше проводиться следующим образом: сначала рассмотрим вспомогательную измененную систему, правые части которой не являются аналитическими функциями '), а затем рассмотрим сколь угодно близкую к ней систему, правые части которой уже являются аналитическими функциями.
Вспомогательная измененная система (правые части которой не являются аналитическими функциями), которую мы будем рассматри-
') Такие системы нами раньше не рассматривались. Однако если правые части системы не являются аналитическими функциями, но имеют непрерывные частные производные, то для такой системы выполняется теорема 1 о существовании и единственности решения, а также теорема 11 Дополнения 1. Заметим, что если бы функция F (х, у), обладающая свойствами 1) и 2) леммы, была аналитической, то рассматриваемая ниже система (Л*) также была бы аналитической, и дальнейшие рассуждения настоящей теоремы были бы значительно упрощены. Однако точное доказательство существования аналитической функции, удовлетворяющей условиям 1) и 2) леммы, значительно более сложно, чем проводимое дальше рассуждение. грубые системы
447
вать, имеет вид:
g = P (X, у) + XF (X, у) F'x (х,у) = P* (X, у),
dv ^6"17)
-ft = Q (х, у)-f IF (х, у) Fy (лг,_у) = Q* (х, у),
где X — параметр, а функция F(x,y) удовлетворяет условиям предыдущей леммы, так что правые части этой системы во всяком случае имеют непрерывные частные производные первого порядка (в силу того, что функция F(x,y) согласно требованиям леммы имеет непрерывные частные производные до второго порядка); систему (6.17) мы будем называть «системой (ЛТ)»-
