Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
290 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
не эллиптического, а гиперболического типа)
r2 Лр _
Р* дх2 ~
б2ф
д?'
у* ________________________.
¦ * я 2 Л 2
дх ду
(4.16)
Необходимо найти их решения при граничных условиях (4.5). Кроме того, нужно потребовать, чтобы по крайней мере в правом нижнем квадранте движение среды отсутствовало, ибо скорость движения нагрузки выше скорости распространения волн деформации.
Решения уравнений (4.16) можно представить в форме [12] ф = / (ж — М) + F (х + М)> У = S (х — Y*Z/) + G(x + у*г/),
(4.17)
или, в неподвижных координатах,
ф = f(x — Vt — р*г/) + F(x — Vt + р*г/), ¦ф = g (х — Vt — у*у) + G(x — Vt + у*у).
(4.18)
Из (4.18) видно, что структура функции ф складывается из двух
ударных волн. Фронт первой — прямая х — Vt — (?*?/= const —
движется со скоростью V вправо и располагается в левом нижнем квадранте; фронт второй — прямая х — Vt + Psfу = const —
также движется со скоростью V вправо, но располагается в правом нижнем квадранте. Ясно, что вторую волну (второе слагаемое в выражениях (4.17), (4.18) для функции ф) нужно отбросить, ибо волна деформации не может «забегать» вперед возмущающего усилия, поскольку его движение происходит со сверхзвуковой скоростью. Итак, все возмущенные точки сплошной среды должны находиться в остроуголь-образованном осью х и прямой
Рис. 5.7
ном клине (рис. 5.7),
sin а ¦¦
Vt I + Vt : C1F-1, tg а = [\
(4.19)
Г-
Все сказанное относится и к функции ф. Здесь также есть ударпая волна, уравнение фронта которой х — Vt — у%у = const. Второе слагаемое в выражениях (4.17), (4.18) для 4' нужно отбросить. Итак,
ф = / (х — M),. І =*g(x — у*у), (4.20)
§ 4. ЗАДАЧИ О ДВИЖУЩЕМСЯ ШТАМПЕ
291
и условие неподвижности среды в правом нижнем квадранте выполнено.
Интегрируя граничные условия (4.5) один раз по х, получим
у = 0: (г;-1 )дЛ_2%=-PG-1Il(X-I),
; , (4.21)
(T;-l)g + 2^=0, H(I) = Z(Sgnt-I).
Здесь было учтено, что при х -*¦ °° движение должно отсутствовать. Подставляя теперь (4.20) в (4.21), имеем
(ї* - 0 /' (х) + 2У*ё' (х) = — р0~г П (® — 5),
(у1 - I) g’(X)-2М (X) = O.
Решая систему (4.22) относительно /' (х) и g'(x), найдем
if •2 V,
f (X) = ~§-АЩх-1), Л = ^(Я«, + 1),
PB P (v2 -1)2 (4-23)
g'(x)=- ,/W -H(X-I), В*=У-\-------
(v» — l)GA p*v*
Отсюда по формулам (4.2) и (4.20) для функции v при у = 0 получим выражение
v = Zu(x-l), Oiii - 4Gv* ^ 1}. (4.24)
V, + 1
Рассмотрим теперь на основании (4.24) задачу о движении без трения со сверхзвуковой скоростью штампа по границе упругой полуплоскости. Легко получим следующее интегральное уравнение относительно функции распределения контактных давлений q(х):
а
J {I (I) [sgn (х — 5) — 1] dl = — 20* [б + ах — г (х)\ (| х |< а).
— а
(4.25)
Здесь г(х) — функция, характеризующая форму основания штампа. Уравнение (4.25) можно также записать в следующей форме:
а
Js(I)dI = 0* [б + ах — Г (х)] (|жК<г). (4.26)
К
Отсюда находим
q(x) = — 0*[а — г'(х)} (|ж|<а). (4-27)
19«
292 ГЛ. 5. МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ДИНАМИЧЕСКИХ СМЕШАННЫХ ЗАДАЧ
При этом сила, которую нужно приложить к штампу, равна
а
P = \q(x)dx =—0$[2tM-r(fl) + r(-a)], (4.28)
— а
а эксцентриситет приложения силы определим по формуле
Pe = J xq (х) dx = — 0* j [ r(x)dx — a[r(a) + г(— а)]|» (4.29)
Для плоского наклонного штампа на основании (4.27) — (4.29) имеем
q(x) =—0^a, P = —20*аа, е = 0 (а<С,0). (4.30)
Подставляя полученное значение для q(x) в (4.26), нахідем, что б = —аа.
4. Заметим, что, распространяясь в безграничной упругой среде, поперечные волны не генерируют продольных, и наоборот. Однако в среде с границей продольные и поперечные волны взаимосвязаны, что, например, видно из (4.22). При наличии второй границы образуются еще отраженные волны. Продемонстрируем это на задаче о движении сосредоточенной силы P со сверхзвуковой
Рис. 5.8
скоростью V по границе упругой полосы толщины h, жестко защемленной по основанию. В подвижной системе координат граничные условия задачи запишутся в форме
у = 0: Оу = -Р8(х-1), Xxy = O, ^431^
у = —h: u = v = 0.
Нужно еще потребовать, • чтобы по крайней мере в полуполосе х>% движение среды отсутствовало.
На рис. 5.8 показана система прямых и отраженных ударных волн в полосе при условии З Р* >7*. Видно, что пересечение фронта продольной или поперечной волны с нижней границей полосы порождает отраженные волны обоих типов; в свою очередь пересечение фронта этих отраженных волн с верхней границей вновь порождает отраженные волны обоих типов. Рассматривая
§ 4. ЗАДАЧИ О ДВИЖУЩЕМСЯ ШТАМПЕ
293
сечение ПОЛОСЫ И передвигая его В сторону X = —оо, вщдим, что количество волн постепенно нарастает до восьми. Точки А, В, С, D, Е, F и G соответственно имеют такие координаты по оси х:
I, — Р*й + I, —y*h + %, -2(?*? +5, — (?*? — y*h + I,
-3(?*? + 5, — 2%h — y*h + I.
На основании этого, стремясь далее к определению значений перемещений V (х, 0) лишь при X > — h (Р* + у%) + I, будем искать функции ф И в виде
