Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
Исходя из сказанного, в случае больших X целесообразно требовать, чтобы имела место оценка
(0 <а<1, »>!),, (3.1)
9*
132 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
где к% (t)—аппроксимирующее ядро, є — достаточно малое положительное число. Из требования (3.1) с учетом свойств k(t) вытекает, что к% (t) должно иметь вид (см. (1.26) гл. 2)
k*(t) =— ln\t\ + r0'\t\ + IifJt), (3.2)
причем функция Z* (t) в силу леммы 2.1 по крайней мере принадлежит классу IIi (—2/Х*, 2/А.*). Подставляя в (3.1) выражения (1.26) гл. 2 и (3.2), получим следующее условие:
Ifz (0 - I* W 1н«(_2/ч,,д ) <s (° < а< !)’ (3-3)
где X(I) = T1 + l(t), a l(t) дается формулой (1.24) гл. 2.
Примерами аппроксимаций, удовлетворяющих условию (Э.З) при определенных п и Ash (величина є выбирается в зависимости от желаемой точности), могут служить: 1) отрезок ряда (8.35) гл. 2; 2) отрезок ряда (1.1); 3) интерполяционный полином для I(t) и т. д. Именно такие аппроксимации по существу использованы нами выше при построении решений уравнения (7.1) гл. 1 для больших А.
Для случая малых А (или для любых A ^ (0, °°)) нужно тре~ бовать выполнения условия (3.1) при любом А>0. При этом следует иметь в виду, что k(t) ~ ехр[— (к — г) Ul] при Ul-*-00 (є>0), если К(а) регулярна в полосе IReaI <х (см. теорему 1.15 и формулу (9.45) гл. 2). Поэтому по крайней мере &*(?) и k*(t) должны не возрастать при Ul -*¦ 00.
Выполнение условия (3.1) при п = 1 обеспечивает получение приближенного решения, качественно соответствующего точному (см. теорему 2.13). Покажем, что выполнение условия (3.1) обеспечивает также в определенном смысле и количественную близость приближенного и точного решений. Вначале обратим внимание на следующее обстоятельство: из анализа приближенных решений, описанных в §§ 8, 10 гл. 2, можно заключить, что величины Bi(A) и B2(A) в соотношениях корректности (8.9) гл. 2 монотонно возрастают при уменьшении А и ведут себя как А-1 при А 0.
Будем называть уравнение
і
J Ф *(?)** (Ц^)#= я/* (я) (М<1, 0 < А < оо) (3.4)
возмущенным по отношению к основному уравнению (7.1) гл. 1,
(1.3) гл. 2, если выполнены следующие соотношения:
§ 3. ОБ АППРОКСИМАЦИЯХ ЯДРА УРАВНЕНИЯ
133
Будем дальше предполагать / (х) є Hf (— I, 1); тогда из (3.5) с неизбежностью вытекает, что и /* (х) є Hf (—I, 1), и, как уже отметалось, из второго соотношения (3.5) следует, что (t) є
<=Я?(-2Л,2Л).
Теорема 3.3. Для любого фиксированного К ^ (0, °°) найдется такое Sh., что при є <е# решение возмущенного уравнения в Lv(—I, I) (1 < р < 2) существует и единственно.
Для доказательства заметим, что из существования и единственности решения основного уравнения в Lp (—I, 1) (см. теорему 2.13) следует существование при всех X *=(0, °°) аддитивного обратного оператора В, действующего из Hf в Lf, т. е.
фИ = в/.
(3.6)
На основании первой формулы (8.9) гл. 2 имеем ЦВ/Ц*, (_lt ^ Il /1 а і откуда следует, что обратный оператор ограни-
H1C-I, 1)
чен и, следовательно, линеен.
Представим интегральное уравнение (3.4) в виде
і і
' ? — х\ . . . Г /с. I ~ / E — х\ . /? — х ¦ 1
Ф* (?) к
К
-1
(Ы <1).
(3.7)
Если допустить, ЧТО ф* (?) G-Lp (—1, 1) (1<р<2), то второе
слагаемое в правой части (3.7) принадлежит Н\(— 1, 1).С учетом сказанного обратим оператор, стоящий в левой части уравнения
(3.7); получим следующее уравнение второго рода:
Ф* ix) = в/* + - в
1
J ф* (Ю
г|М)-г4 ('V)j
j (3.8)
эквивалентное в Lv (—I, 1) уравнению (3.7).
Оценим в Lv норму оператора, стоящего в правой части (3.8):
f 1 1
в J ф* (Б)
1-1
< — я
(Б)
ё — х
1-Х
dl
(3.9)
134 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Можно показать, что
I-Mitp (VH-(V)
dl
I 1
1 + 4 +
Н\
к ^ +Pj-(3.10)
С учетом (3.10) оценка (3.9) примет вид
]¦ «р, (Ю [г (4F) - г* (Цс-г)
dl
Q1 We,, ( і і \
Ilф* 1I^l1 + х + ЦЇЬ}-
При любом фиксированном К > 0 выбором значения є можно добиться того, чтобы
Mif/i +1 + — ) <1
л ^ ^ я ^ ^1+Р I ’
откуда в силу принципа Банаха «неподвижной точки» следует утверждение теоремы.
Теорема 3.4. При є < s* имеет место оценка
ІІФ И — ф* (х) I Lv < Є01 (А)
I + T Il Ф*
1 + 4-+' 1
‘ к 1 ц+р
)]. (3.11)
Для доказательства вычтем уравнение (3.4) из уравнения
(7.1) гл. 1, (1.26) гл. 2. Будем иметь
і
dl = я f(x) — /* (х) +
+
(Dp(V)-'.(V)
dl
(И<1, х(і) = ф(?)-ф*(?))-
Используя теперь первое неравенство (8.9) гл. 2, получим
§ 3, OB АППРОКСИМАЦИЯХ ЯДРА УРАВНЕНИЯ 135
Отсюда уже не представляет труда с учетом (3.5)' и (3.10) прийти к (3.11).
Из доказанного следует, что при любом фиксированном К > О за счет уменьшения є погрешность между точным и приближенным решениями в Lp может быть сделана сколь угодно малой. При уменьшении К для сохранения заданной точности приближенного решения точность аппроксимирования ядра нужно увеличивать. Заметим, что для возмущенного уравнения имеет место теорема, аналогичная теореме 2.13. Именно, можно показать, что если решение уравнения (3.4) существует в Lp(—I, 1), а это будет при є Csh., то оно имеет вид
