Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
О 2Д
о>(s) +
AK
к
+ S— jjds (10.1)
(О < г/ < °°), Л = IimisT(M) (и->-0),
то решение интегрального уравнения (7.1) гл. 1, (1.3) при f(x) = 1 в классе Lp (—I, I) (1 < р < 2) находится по формуле
(М<1). (10.2)
1^-U-
К AK
Для доказательства рассмотрим систему трех интегральных уравнений [10, 16]
оо
J У(4)*(^Т~)= Я (—оо Сх< оо),
— OO
OO —1
ИФН^)*- J H1^1)+"(I)H5Te)*
(10.3)
Kl I К (—1^ж<оо), (10.4)
I OO
— 00 1
(—оо<ж^1). (10.5)
Сложением (10.3) — (10.5) легко убедиться, что если известно решение этой системы, то решение уравнения (7.1) гл. 1, (1.3)
§ І0. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «МАЛЫХ U
ИЗ
имеет вид
ф Or) = co(!±i-) +со(^) + у(!) (М<1). (10.6)
Осталось еще учесть, что уравнение (10.3) имеет решение (см.
(9.7) при V = 0)
" (т) = Ж- <10-7)
а уравнения (10.4) и (10.5) очевидными заменами переменных приводятся к (10.1).
Допустим далее, что ядро к (t) дается формулами (1.3),
(9.43). Тогда справедлива
Теорема 2.18. Если решение интегрального уравнения
(10.1) существует в L(0, °°), то оно имеет вид
CO (у)=а(у)у-1/\ (10.8)
где Q (у) — по крайней мере непрерывная при 0 =? у =? °° функция, убывающая на бесконечности как ехр (—у ReS1).
Для доказательства преобразуем функцию
р(у>= л-1 ^co(s>+ ж\к [у + s~ х)ds ^у < oc^t ^10'9)
2/Х
стоящую в правой части уравнения (10.1). Именно, подставляя в (10.9) выражение (9.45) функции k(t), получим для р(у) следующее представление:
P (У) = 2 Ъше УУт, b*m =^- J со (s) + е(2Д s^mds. (10.10)
т=1 2д L J
Используя теорему о среднем в интегральном исчислении, найдем ,. * , I К
(т <>*<»)•
Отсюда с учетом последней формулы (9.44) будем иметь
RеЬт~т~2 (те—>-оо, А,>0). (10.12)
Обратим теперь интегральный оператор, стоящий в левой части уравнения (10.1), или, иными словами, решим интеграль-но? уравнение
OO
I со (s) к (s — у) ds = лр (у) (0^у<оо). (10.13)
о
8 В. М. Александров, Е. В. Коваленко
114
ГЛ. 2. АСИМПТОТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ
Используя первую формулу (9.46) при V = ?„, получим
OO OO А
“ (у) = 2 bm^m (у) = 2 Впе nV,
771=1 П—1
-6пу
Ч’т (у) = -к тгу 2 •;> с, P г -V - (10Л4)
+ (*w n~l (^m zn) + ( 2я)
оо , *
D I m
±S~
к'+ (— zn) m==1 (lm z„) я:+ (?т)
Согласно сказанному в конце предыдущего параграфа ряды
(10.14), определяющие функции 'фт(у), равномерно сходятся при j ^ E > 0, а в окрестности у = 0 функции 'фт(у) ведут себя как у~". Относительно т. функции 'фт(у) имеют порядок го-7*, ибо К+(%т)~ m~'h. Поэтому и согласно (10.12) ряды (10.14), определяющие числа Bn, также сходятся; относительно п, как можно показать, числа Bn имеют порядок n~'h In п. Из сказанного вытекает, что ряды (10.14), определяющие функцию со (у) равномерно по у>ъ> 0, сходятся; при у = O функция со (у) имеет особенность вида у~'!г, при у °° функция со (у) исчезает как ехр (—у Re S1). Теорема доказана.
Следствие 2.6. Функция со (у), являющаяся решением интегрального уравнения (10.1) в Ь(0, °°), принадлежит Lv(О, 2А)
(I < JO < 2, 0 < К < оо).
Соотношение, определяемое первой формулой (10.14), представляет собой, очевидно, интегральное уравнение 2-го рода относительно функции со (у), эквивалентное в L(0, °°) интегральному уравнению 1-го рода (10.1). Указанное выражение с помощью (10.8) и (10.10) представим в виде
OO
ft (У) = ®о(У) + j ®(s)k(s, y)ds (0< у<оо),
2Д
OO
(^) = 2 ^mKm (г/), Ът = Ът (тсАХут) ,
W=I
Xm (У) = (У) Vy Є1”, ® (У) = M (У) Vyeivi (10.15)
-O1S
е
k (s> у) = —тг 2dЬтХт (у) е
(2/Х. s)Vm
С учетом теоремы 2.18 можно заключить, что интегральный -оператор
OO
Afl1= J § (s) k (s, у) ds (10.16)
2Д
§ ІО. АСИМПТОТИЧЕСКИЙ МЕТОД «МАЛЫХ X»
115
является линейным в пространстве M (О, °°) ограниченных при у є [о, оо] функций (см. § 3 гл. 1).
Теорема 2.19. Найдется такое что при %<Х<, решение интегрального уравнения (10.15) в классе Д/(0, °°) существует, единственно, может быть получено последовательными приближениями и имеет место оценка (3.23) гл. 1.
Для доказательства воспользуемся принципом «неподвижной точки» Банаха. Оценим норму АО в М(0, °°). Имеем
I АО ||м(о,оо) < IО ||м(о,оо) sup j | к (s, у) \ ds =
7П= 1
оо
2Vm/X J < 2/Х
¦ ds
2/Х
I Ът I sup I Km (у) I
= Р||0||м(0іоо),- (10.17)
где для Р, вычисляя интеграл в (10.17), получим выражение-
оо
I bm I suP I *т (У) I
'l Vя I 6I + Tm I
2 Vm/X
erf
+ Ут)
. (10.18)
Величина В вида (10.18) ограничена и при К О убывает
П- -2Re6./X
е . Действительно, при малых К
е2у™1к [1 _ erf J/ЩТъЩ\ ~ e"26l/" [2я (S1 + ут)1Ц112. (10.19)
Здесь использовано асимптотическое разложение erf х при больших значениях аргумента [И]. Далее, вспоминая, что ^'т (г/) ~ ~ mr'h при т оо, заключаем, что члены ряда (10.18) имеют порядок т~ъ/2 при те оо равномерно по у, т. е. ряд сходится при всех у <= [о, оо].
Из сказанного следует существование такого 1K0, что при % < 1K0 будет P < 1. Ho тогда оператор А есть оператор сжатия в M (0, оо), что и доказывает теорему.