Задачи механики сплошных сред со смешанными - Александров В.М.
Скачать (прямая ссылка):
, m 1 V» m Jco0 In 2Х, (і = 0),
Ui — ®0ci0 (A) — у 2л fiW (1) = І /оч_і ^ (1-4)
3=1
со2і (2 і)"1 (і>1).
Перепишем систему (1.4) в более удобном для дальнейших исследований виде
OO
со0 (In 2А + с00) = /о------2" 2 c0aJcQi' (1-5)
Xi = 2 (j = 1, 2, . ..),
і=і
Я» = (2і) ї = Ьі = /2г Co0^iO'
(1.6)
Заметим, что в силу соотношений (6.4) гл. 2
і
-Wo = j Ф (х) ^x = ясо0. (1.7)
-і
По предположению ф(x)^Lp(—1, 1) (1</?<2), следователь-
но, Ico0I < оо. Решив бесконечную систему (1.6), найдем затем величину CO0 из уравнения (1.5), связав ее со значением N0 посредством формулы (1.7).
Лемма 3.1. Для коэффициентов аіз бесконечной системы
(1.6) имеют место оценки
UiiK 4/max IZ0 (*) | (1t1< 2/А,; г, j > 1), (1.8)
I Д«; К -да ^ ^ (S1 = Const; j >2, і>1), (1.9)
I aH К -^6.-^2 _ !) (? = const; і, j >2), (1.10)
. m
1?і<wkir12i(1-11)
При A -*¦ 0; i, / > I
ay~ 0 (г=?4=/), a.-.- ~ I. (1.12)
Для доказательства леммы представим коэффициенты при г, J>2 в ином виде. Именно, используя формулу (1.2) и ИНТЄГ-
§ і. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
123
рируя по частям, получим
я я
1 Г f ,(6) /cos г|) — cos ф\ [ sin (2і + 2) ф 2sin2?<p , aij~ 16я2Я6і J J ° [ Я- J[(2i + i)(2i + 2)— 4і2-1
OO
. sin (2і — 2) ф І Г sin (2/ + 2) 'ф 2 sin 2/ty + (2i-I) (2.-2)] [(2/+ 1)(2/+ 2)- 4/3 — I +
sin (2/ — 2) I . • , і ,,
+ (2/-1) (2/ ^2)] 81П cP sin ^
Отсюда не представляет труда получить оценку (1.10). Оценка
(1.9) получается аналогичным образом. Оценка (1.8) очевидна. Для доказательства оценки (1.11) достаточно воспользоваться формулой (8.1) гл. 2 и учесть, что
і^ійК-щгіт)" (»°>-
Наконец, для вывода оценки (1.12) произведем под интегралом во второй формуле (1.3) замену переменной, положив и = аХ. Учитывая затем, что L(и)-*- 0 при и-*- 0, и возвращаясь к старой переменной и, будем при А, О иметь
OO
4/(-l)i+J+1 J/2i (х) Zsj-(^)-T (i^ >1)- (1-13)
О
Вычисляя интеграл [5] в (1.13), придем к (1.12).
Теорема 3.1. Бесконечная система (1.6) квазивполне регулярна при X > 0. Если существует ее ограниченное решение, то последовательность {xt} принадлежит I1. При К -+¦ 0 определитель системы стремится к нулю.
Как известно [6], бесконечная система является квазивполне регулярной, если
OO
1)] S|ey|<oo (i = 1,2, .. .,Ar);
j=i
OO
2) ЕКЛ<1-0<1 (i = Ar + I, Ar + 2, ...); (1.14)
J=і
3) IbfKM1 (M1 = Const; i = iV+l, N+ 2, ...).
Система вполне регулярна, если N = 0.
Справедливость условий (1.14) легко вытекает из оценок
(1.8)—(1.10) при X > 0. Здесь также следует учесть, что для
коэффициентов bi вида (1.6) может быть получена при X > О
оцеїіка
Ib1-Ke3(J2-V2)-1 (63 = const, i> I). (1.15)
Она выводится подобно аналогичным оценкам для со2ь и аи-
124 ГЛ. 3. МЕТОДЫ СВЕДЕНИЯ К АЛГЕБРАИЧЕСКИМ СИСТЕМАМ
Пусть найдено ограниченное решение системы (1.6) |ж, | < б4 (б4 = const);
тогда имеем
(1.16)
OO
I^iKil-Z2S |ву| +IbiI (M2 = const)
или,, на основании оценок (1.10), (1.15),
Ы ,=? б5(г2 — V2)-1 (б5 = const, i> 2).
Отсюда следует, 'Что {х{} є I1.
Из оценок (1.12) следует, что при А,->-0 определитель системы (1.6) стремится к нулю.
На основании доказанной теоремы можно заключить, что существование и единственность решения бесконечной системы
(1.6) при К > О сводится к существованию решения конечной системы первых N уравнений. При очень малых значениях параметра К матрица системы (1.6) становится плохо обусловленной. При условии (1.16) ряд в (1.5) абсолютно сходится.
Теорема 3.2. При К > A0 бесконечная система (1.6) вполне регулярна.
Для доказательства оценим величины
На основании оценки (1.11) для коэффициентов имеем
т оо
Г С j У (2І + 2п + ’ - V I 1 \2i+2n
t ^ (2i)\y> ^ (2« — 1)! \2т)
Методом математической индукции можно доказать, что
где [(г—1)72] — целая часть числа (г— 1)/2. G учетом (1.18J оценка (1.17) примет вид
Отсюда видро, что все Ci < оо, если только q < 1, А,>(2и)-1.
оо
Ci=I1Iaij] (і = 1,2,...).
Cj <2
§ і. МЕТОД ОРТОГОНАЛЬНЫХ МНОГОЧЛЕНОВ
125
Найдем теперь условие, при котором СІ+1<^С* (і ^ I). На основании (1.19) имеем
Dij (?) = *р2Щ+1)(21 + ’ + 2) < 1. (1.20)
(1 — q2)2 (2i + I) (2І + 2) У '
Заметим, что при любых фиксированных g < 1 и / > 1 числа Dij(q) монотонно убывают с ростом і; при / = 0 числа Dt0(q) = = 4g2(l-g2)-2.
Таким образом, неравенство (1.20) будет выполнено при всех
і и у, если
Dln(q) = 3-у (3 + п) (4 + п) (I - g2)~2 < 1.
Отсюда найдем наибольшее gt и соответствующее ему At.
Выясним теперь, когда Cx *< I. На основании (1.19) имеем
т
у А¦ (2/+ 4)!!
Отсюда найдем наибольшее д2 и соответствующее ему A2.
Из всего сказанного вытекает, что система (1.6) вполне регулярна при А> A0 = sup [(2?)-1, Al, A2], что и требовалось доказать.
Из теоремы 3.2 следует, что бесконечная система (1.6)' прет А > A0 имеет единственное ограниченное решение в Z1, которое может быть получено методом последовательных приближений или методом редукции. Именно, урежем двойной ряд (1.1) для функции I0 (t) следующим образом: