Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
Rо = -<*! (L, G, Я).
Тогда получим
*-f ("+"•?)+<><->¦
Сделанные предположения относительно функции R и тот факт, что А Ф 0,
дают нам возможность воспользоваться теоремой В. И. Арнольда [3] об
устойчивости канонических систем. Из этой теоремы следует, что для всех
начальных условий из рассматриваемой области, за исключением, быть может,
некоторого множества малой вместе с е2 меры, элементы L, G, Н можно
представить сходящимися тригонометрическими рядами. Следовательно, почти
для всех начальных условий элементы L, G, Н будут изменяться в
ограниченных пределах и тем самым почти все орбиты спутника будут
устойчивыми по Лагранжу, ибо область пространства, где происходит
движение спутника, полностью определяется элементами L, G, Н. Эта
область, ограниченная двумя эллипсоидами и гиперболоидами (см. § 2.7),
будет лишь пульсировать со временем, а не расширяться или сужаться
вековым образом **).
Заметим, однако, что возмущения от сопротивления атмосферы, как мы увидим
в гл. VIII, приведут к тому,
*) Этой области примерно соответствует г < 20 ООО км.
**) Полученные результаты, очевидно, имеют также значение для
естественных спутников планет, для которых возмущения от сжатия
преобладают над возмущениями от Солнца и других спутников.
126 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
что расстояния между поверхностью Земли и ограничивающими эллипсоидами
будут непрерывно сокращаться, и спутник рано или поздно упадет на Землю.
§ 4.8. Аналог теоремы Лапласа
При решении уравнений для канонических элементов L, G, Н, I, g, h могут
быть использованы практически все методы, разработанные в классической
теории возмущений. Сюда относятся *):
1. Метод последовательных приближений.
2. Метод последовательных приближений в форме Пуассона.
3. Метод Делоне.
4. Метод Цейпеля.
5. Метод Ньюкома.
Все перечисленные методы, за исключением первого, позволяют построить
теорию движения спутника (речь идет пока о гравитационной теории) в чисто
тригонометрической форме. Если же использовать обычный метод
последовательных приближений, то это приведет к тому, что все элементы (в
каком-нибудь приближении) будут обязательно иметь вековые и смешанные
возмущения. Ясно, что в случае спутников теория с вековыми и смешанными
членами менее предпочтительна по сравнению с чисто тригонометрической
теорией.
Посмотрим, однако, что дает метод последовательных приближений при
вычислении возмущений первого порядка. Для простоты мы будем
предполагать, что возмущающая функция R имеет вид (4.7.3). Поскольку
элементы I, g, h входят в R только посредством тригонометрических функций
и поскольку в промежуточном движении
I = п (t - t0) 4- l0, g = n' (t - t0) + g0,
h = n" (t - t0) + h0,
где n, n', n", l0, g0, h0 - постоянные, то в первом приближении элементы
L, G, Н не будут иметь вековых членов,
*) Изложение первых трех методов можно найти в книге
М. Ф. Субботина [1]. О методе Цейпеля см. книгу Ф. Брауэра
и Клеменса [4], а о методе Ныокома-книгу Е. А. Гребеникова и Ю. А. Рябова
[5].
§ 4.9] УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ОСКУЛИРУЮЩИХ ЭЛЕМЕНТОВ 127
если
кгп + к2п' + к3п" + SjCOj + s2co2 + s3co3 =/= 0. (4.8.1)
Таким образом, мы имеем следующую теорему: Если начальные условия таковы,
что при любых целых ки к", /с3, *и s2i s3 выполняется условие (4.8.1), то
среди возмущений первого порядка (относительно г*) элементов L, G, Н нет
вековых членов.
Эта теорема является аналогом теоремы Лапласа в теории возмущений планет,
но она позволяет сделать более сильные утверждения относительно области
возможности движения, чем теорема Лапласа *). Действительно, в теореме
Лапласа речь идет только о большой полуоси орбиты планеты, но не об
эксцентриситете и наклоне, которые наряду с большой полуосью играют
важную роль в эволюции орбиты. В то же самое время из доказанной теоремы
следует, что все три элемента а, е, i будут подвержены только
периодическим изменениям. Поэтому (в первом приближении) область
тороидального пространства, где происходит движение спутника, будет
пульсировать, а не расширяться вековым образом со временем.
Что касается элементов I, g, h, то они будут иметь как периодические, так
и вековые возмущения. Но эти элементы не связаны с областью возможности
движения.
§ 4.9. Дифференциальные уравнения
для оскулирующих элементов, аналогичные
уравнениям Лагранжа
Дифференциальные уравнения (4.5.2) могут быть легко преобразованы в
уравнения относительно элементов а, е, г, I, g, h. Действительно,
дифференцируя формулы
(4.5.7)-(4.5.9), мы можем выразить производные а, е, s
через производные L, G, Н. С другой стороны, эти же формулы позволяют
записать частные производные R по L, G, Н через частные производные R по
а, е, s. Подстановка всех этих производных в (4.5.2) нам даст следующие
*) О теореме Лапласа см. книгу М. Ф. Субботина [1].
128
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
уравнения:
da dR + #2 dR + (r)3 dR
dt = CLi dl dg dh ' t
de dR + e2 dR + e3 dR
dt = ei dl dg dh '
