Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
Система IV: С1, Сг, С3, сг, с2, с3.
Система V: Dx, Z>2, D3, du d2, d3.
В § 4.12 мы проведем аналогию между элементами эйлерова промежуточного
движения и соответствующими элементами невозмущенного кеплерова движения.
§ 4.7. Задача об устойчивости
движения спутника
Рассмотрим сначала промежуточное движение. В § 2.7 мы видели, что
промежуточное движение спутника происходит в области, ограниченной двумя
эллипсоидами и двумя гиперболоидами. Орбита спутника, как легко показать,
касается одного эллипсоида, затем гиперболоида, второго эллипсоида и
второго гиперболоида и т. д. Согласно [2] движение спутника будет
условно-периодическим с тремя периодами. Введем эти периоды.
Назовем аномалистическим периодом Т1 промежуток времени между двумя
последовательными касаниями внешнего (внутреннего) ограничивающего
эллипсоида. Очевидно, этому промежутку времени соответствует изменение гр
от некоторого г|э0 до гр0 + 2л. Драконическим периодом Т2 назовем
промежуток времени между двумя последовательными пересечениями спутником
плоскости z = со, например, с юга на север. Как легко видеть, этому
промежутку времени будет соответствовать изменение 0 от 0О до 0of+ 2л.
Так как плоскость z = со отстоит от экваториальной
§ 4.G] ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА
123
плоскости на 7,5 км, то драконический период практически будет совпадать
с промежутком времени между двумя последовательными пересечениями
спутником плоскости экватора. Назовем, наконец, сидерическим периодом Т3
промежуток времени, в течение которого долгота w0 возрастает на 2я
радиан. В соответствии с этим введем среднее аномалистическое движение щ,
среднее драконическое движение пг и среднее сидерическое движение п3 по
формулам
Ясно, что все три периода изменяются от оборота к обороту, подвергаясь
периодическим (и, вообще говоря, малым) колебаниям. Однако если
пренебречь этими малыми колебаниями, то мы получим некоторые средние
значения для этих периодов, которые и будут характеризовать движение
спутника на больших промежутках времени.
Обращаясь к уравнениям § 3.8 и 3.9, мы видим, что при изменении т|з на 2я
время t изменяется (в среднем) на величину, равную 2я (1 - Х)/п0. Поэтому
Аналогичным образом находим, что
п2 = пг (1 + v), п3 = п2 + rejfi.
С принятой точностью, таким образом, будем иметь Hi = щ (1 + X), 1
Отсюда следует, что средние движения и соответственно три периода
отличаются друг от друга величинами порядка е2.
Очевидно, что п±, п2 и п3 представляют собой средние скорости изменения
переменных т|з, 0 и w, а периоды 7\, Т2 и Тз показывают, за какое время
эти переменные изменяются (в среднем) на 2я.
Величины Bj, ва и Bj в известной степени определяют характер движения
спутника. Если щ, п2, п3 несоизмеримы, то орбита спутника не будет
замкнутой кривой.
(4.7.1)
п2 - щ (1 -)- v %), rc3 = rc0(l+v+|i + ^).
(4.7.2)
124
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
[ГЛ. IV
В этом случае какую бы точку тороидального пространства, где происходит
движение спутника, мы ни взяли, всегда найдется такой момент времени,
когда спутник будет сколь угодно близко от этой точки. Другими словами,
траектория спутника будет всюду плотно заполнять область возможности
движения. Картина изменяется, если отношения этих постоянных являются
рациональными числами. В этом случае орбита спутника будет замкнутой
кривой, а его движение - периодическим. Два условия периодичности будут
связывать три элемента, я, е, г, от которых зависят постоянные /г1? п2,
ns. Один из этих элементов можно выбрать произвольно, а два других будут
принимать счетное множество значений. Три угловых элемента ?2", со0, М0
будут произвольными. Таким образом, уравнения промежуточного движения
допускают оо6 периодических движений, период которых в общем случае
является весьма большой величиной.
Перейдем теперь к рассмотрению возмущенного движения. Предположим
сначала, что на спутник действуют только силы гравитационной природы. Для
определенности будем считать, что спутник подвержен возмущениям от
зональных, тессеральных и секториальных гармоник потенциала притяжения
Земли, а также влиянию Луны и Солнца. Тогда согласно § 2.1 возмущающая
функция R будет даваться формулой
R = RT RL R
Используя равенства § 3.14, мы можем представить функцию R в виде
следующего ряда:
R - e*^]Acosy, (4.7.3)
где
у - ktl -)- k2g -)- k3h -|- s2co2? sswst d0,
(4.7.4)
причем е* - малый параметр, к±, к2, . . ., s3 - целые числа, сох -
угловая скорость вращения Земли, со2 и со3 - средние движения Луны и
Солнца, d0 - постоянная, а коэффициенты А суть функции элементов а, е, i
или L, G, Н.
§ 4.7] ЗАДАЧА ОБ УСТОЙЧИВОСТИ ДВИЖЕНИЯ СПУТНИКА 125
Будем рассматривать такую область пространства, чтобы функция R имела
порядок е4 *). Тогда отношения частот п' и п" к п будут иметь порядок е2.
Вычислим теперь при помощи (4.5.4) следующий определитель:
д2П0 d2R0 дШ0
дЬ2 дЬ дв дЬ дН
дЩ, д2Л0 д2П0
дв дЬ 3G2 дв дН
d*R0 а2л0 дЩ,
дН дЬ дН дв дт
