Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
64 А*а | V "1 ^ at )
(l-3f), (4.4.16)
& 2 ^2 1 c2cr2(/m)2
где Л дается формулой (4.3.10).
Согласно последнему равенству (4.2.1)
А3= а3. (4.4.17)
Таким образом, мы получили все формулы, которые связывают элементы Аг,
4аи43с элементами а15 а2 и аз-
§ 4.5. Элементы X, G, Н, I, д, h
Введем новые элементы L, G, Н, I, g, h по формулам
L = At А2 А3, l = Blt "J
G= А2 + А3, g = B2-Bl, I (4.5.1)
Н- As, h = Bz - B2. J
Поскольку, как легко проверить,
3
2 AtdB, - (Ldl + Gdg + Hdh) = 0,
i-i
то новые элементы являются каноническими, и дифференциальные уравнения,
их определяющие, имеют вид
dL _ Ст' dG _ дЯ' dH _ дП' Л
dt dl ' dt ~ dg ' dt ~ dh ' I (4 5 2)
dl _ OR' dg _ dR' dh _ dIV_ j ' ' ' '
dt dL ' dt ~ dG ' dt dH ' J
где
В' = -cci -f- B, (4.5.3)
§ 4.5]
ЭЛЕМЕНТЫ L, G, H, I, g, h
119
при этом предполагается, что ип выражена через L, G, Н, a R - через L, G,
Н, I, g, h
Подставим в первые три формулы (4.5.1) вместо Ах, А2, А3 их значения из
(4.3.9), (4.4.16), (4.4.17) и разрешим полученные уравнения относительно
аг, а2, а3. Тогда
(fm)2 ( . 1 c2(l + g2)(/m)2 / . с. Н2
2L2 \ 2 LG3 ^ G2
15 с4(/то)4 / . Я2 Н*
32 ЛЗб"
+ i-^(*-"T+e-S)}- <"-4>
" ^ I 1 с2 (fm)2 I л Я2 \ | 1 с2а2 (fm)2 / . о Я2
\
2 4 L2G \ G2 / "Г 4 G3 V G2 /
8 с4 (/то)* / . /Я2 о Я1 \
64 L3G4 \ G2 ' G4 /
1 с4(/то)4 /, 2 Я2 о ЯМ ,, 5 54
64 L4G3 \ + G2 G4 / ' (4.Э.0)
а3 = Н. (4.5.6)
Как следует из гл. III, промежуточная орбита наиболее просто описывается
элементами я, е, ?, Q0, w0 и М0,
которые при с - 0 и ст = 0 обращаются в соответствую-
щие кеплеровы элементы. С другой стороны, уравнения возмущенного движения
наиболее просто записываются в элементах L, G, Н, I, g, h, которые, как
мы вскоре увидим, при с = 0 и ст = 0 обращаются в элементы Делоне.
Поэтому необходимо установить связь между этими двумя системами
элементов. С этой целью подставим формулы (3.18.12) в (3.18.13)-
(3.18.15). Это позволит нам выразить элементы а, е, i через alt a2, a3.
Используя затем равенства (4.5.4)-(4.5.6), окончательно получим
1 - е2 - - /1 / c2(fm)2 Я2 . 1 с2 (/то)2 /. г Я2 \ \
L2\ 4 G4 G2 ' 2 L2G2 \ + G2 ) ) '
120
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
Здесь для краткости опущены члены, имеющие порядок с4 и выше.
Разрешая уравнения (4.5.7)-(4.5.9) относительно L, G, Н, найдем
L = Yfma 11 + -f-(l-e2) (1 -s2)+-|- e2 /l-е2 (2-3s2) } ,
(4.5.10)
G = V fma(i-e2) {1 + -J- [(4-5s2) + e2(4-3s2)]} ,
(4.5.11)
H = Y fma (1 - e2) cos i j 1 + [(2 - 3s2) + e2 (2 -
s2)] j .
(4.5.12)
Формулы (4.5.7)-(4.5.12), таким образом, дают возможность переходить от
элементов L, G, Н к элементам а, е, i и наоборот.
Установим теперь зависимость между угловыми элементами. При R = 0, т. е.
в случае промежуточного движения, из уравнений (4.5.2) находим
a lo, go, К - постоянные интегрирования.
Вычислив при помощи (4.5.4) соответствующие частные производные, мы
получим п, п' и п" как функции L, G, Н. Используя далее зависимости вида
(4.5.10)-(4.5.12), мы можем выразить эти величины через а, е, i. В
результате оказывается, что
п - п0 (1 + Я), п' = vn0, п" = [хге0, (4.5.15)
где п0, 1, (iHV даются формулами (3.8.7), (3.8.9), (3.9.3) а (3.7.15).
(4.5.13)
где
§ 4.6]
ДРУГИЕ СИСТЕМЫ КАНОНИЧЕСКИХ ЭЛЕМЕНТОВ 121
С другой стороны, в промежуточном движении время t входит в выражения для
координат посредством следующих комбинаций:
M' - n(t - <о) Н~ (1 Н~ Я) Mq, 1 со' = vn0 (t -10) -{- со0 + vMo, >
(4.5.16)
= [х^о (t - to) Qq H~ VMQ. J
Сравнивая уравнения (4.5.13) с (4.5.16) при условии (4.5.15), мы
устанавливаем, что
10 = М0( 1+XJ, Л
go = ("o+vMo, > (4.5.17)
Tl0 = Я0 -f- ]xMq. J
Равенства (4.5.17) вместе с (4.5.13) и (4.5.15) позволяют перейти от
элементов М0, со0, Я0 к элементам I, g, h.
§ 4.6. Некоторые другие системы
канонических элементов
В предыдущем параграфе была подробно рассмотрена каноническая система L,
G, Н, I, g, h, которую в дальнейшем мы будем считать основной
канонической системой. Можно указать несколько других систем канонических
элементов, которые могут оказаться удобными в некоторых частных случаях
(например, малые эксцентриситеты, малые наклоны и т. д.). Прежде] всего
из (4.5.1) имеем
Ai = L - G, Bi = l, 'j
A2 = G-H, B2 - l-{-g, > (4.6.1)
A3 = H, B3=l-\-g-\-h. J
Формулы (4.5.10)-(4.5.13) и (4.5.15), (4.5.17) позволяют установить связь
между элементами Ah, Bh и элементами а, е, ?, со0, Я0, М0. Ранее было
показано, что эта система элементов является канонической.
Рассмотрим, кроме того, элементы:
Ci - L, Ci I -f-g h,
C2 - G- L, c2 = g-\-h,
C3 = H-G, c3 = h>
(4.6.2)
122 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
и элементы
Dt=L, c?i = I -(- g + h,
D2=Y2(L - G)cos (g+h), = -]/ 2 (L - G) sin (g-f h), ¦
D3=]/2(G- H)cosh, d3=-У 2(G - H)sinh. ]
(4.6.3)
Эти элементы, как легко проверить, являются также каноническими.
Итак, мы имеем следующие системы элементов промежуточного движения:
Система I: а, е, i, со0, Q0, М0.
Система II: L, G, Н, I, g, h.
Система III: Ах, А2, А3, Въ В%, В3.
