Теория движения искусственных спутников земли - Аксенов Е.П.
Скачать (прямая ссылка):
+4- 2 & S da-i-
i-i j= 1
Ho
5Д . дА . dA f 0, ?=^=/',
(r)l7 9(0!i (r)27 dw2i <5й)3г - { Д, i = j.
Следовательно,
з
% ($idai - BidAi)= -tdcti. (4.2.6)
i- 1
Поэтому согласно теории канонических преобразований дифференциальные
уравнения для элементов Ак и В h будут иметь вид
dBh dR' ,, . 2 о\ ('4 2 71
dt дВк ' dt ~ dAh '
где
i?' = -ax + R.
Канонические элементы Ak и Bh свободны от того недостатка, который имеют
первоначальные элементы ак и Действительно, согласно [2] промежуточное
движение является условно-периодическим. Относительно каждой из величин
Вг, В2, В3 координаты спутника будут периодическими с периодом, равным
2л. Этим свойством будет обладать и функция R', а следовательно, и правые
части уравнений (4.2.7).
§ 4.3. Вычисление величины А!
Пусть
Фо (Б) = (6, - Б) а - El). (4.3.1)
Тогда на основании (2.6.4) многочлен Ф (?) можно представить в виде
Ф (|) = -2a, [(| - pf + g2] Ф0 (g), (4.3.2)
где р и q даются формулами (2.6.1) и (2.6.2).
8 Е. П. Аксенов
114
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
Разлагая подынтегральную функцию первого интеграла (4.2.1) в ряд по
степеням с/?, р и q и сохраняя в этом разложении члены до четвертого
порядка относительно е включительно, получим
_____ 5
V(r)(?)dl
4-1 ^??=^2'Л, li ft=1
где
h
а величины ah определяются формулами ai - 1, а2= - р,
(4.3.3)
(4.3.4)
а3
= _L,72_,,2_
^4 = '2_М2 + с2Р) аБ = с4-i-g2c2 --i-g2.
(4.3.5)
Перейдем в интегралах (4.3.4) от переменной ? к переменной Е согласно
(3.10.6), т. е.
Это даст
| = а (1 - е cos Е).
д2-heh
-heh Г sin
~ J
sin2 E dE
(1 -ecos E)k
(4.3.6)
Вычисление интегралов (4.3.6) не представляет трудностей и мы имеем:
Yt = a( 1-/Г=72), ]
1-"j/" 1 - е2
" 2а (1 - *2)а
4e2+e4
1/1-
^4 =
2а2 (1 - е2)
5/2
п=
-^3/2 " } (4.3.7)
J
!(1 -е2)
7/2
Далее, если в формулы (2.6.1) и (2.6.2) подставить вместо б его выражение
из (3.7.2) и заменить е на с/а(1-е2),
§ 4.4]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ Л2
115
то получим
С2 (1 - S2) ( . . C2(l-4s2- ?2) ¦>
Р= а(1_е2) \1 + аЦ1-е^ /'
* '-0
Используя теперь (4.3.8) и (4.3.5), мы можем выразить постоянные ak через
а, е и s. Для того чтобы найти выражения для ак и Yh через элементы ах,
а2 и а3, нужно воспользоваться формулами (3.18.12)-(3.18.15). Подставляя
затем эти выражения в (4.3.3), окончательно получим
^-",^[(.--^-(1-3^)] +
С4 (/т)4 Г _ / . . г/? _ . rri
64ао
[I5((_143| + 2l2l).
*2 2 -64(3~30-#+35-|)
где положено
fm
(4.3.10)
~\f - 2at
§ 4.4. Вычисление величины Л2
Согласно второй формуле (4.2.1)
л 1 ? vmdri , 1 Т утыйц ,,
"2я J 1 + Т) 2я J 1-г, ' '4*4л)
nj тц
а на основании (2.6.11)
F (т|) = -2ах (т|2 л) (л Л1) Гс2?'2 - с2 (т] - />')2],
(4.4.2)
где />' и q' даются формулами (2.6.8)-(2.6.10). Используя подстановку
" Л1 +Лг Ли - ~П1 f
1 2 2
и полагая
2~Т11~Т12 , Ь'= -2±тU + Tl2 , (4.4.3)
Ла - Л! Л2 - ill v '
8*
116 УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ
[ГЛ. IV
мы вместо (4.4.1) будем иметь
л (Л2 - T\dV - 2"ig'2c2 ч/ 4S Х
U
1 QV l-S2 f QVi-PdZ
l+ъ
i-ь'
}, (4.4.4)
где
причем
Q = Yl-c*(r-kZ)*,
•П1 + Ч1-2 -2p'
'12 - Л1
(4.4.5)
(4.4.6)
2q'c ' 2g'c
При помощи формул (2.6.8)-(2.6.10) мы убеждаемся в том, что величины г и
к имеют нулевой порядок. Поэтому, разлагая (4.4.5) в ряд по степеням с2 и
ограничиваясь принятой точностью, получим
Q = bo + b1l + + ъ&,
(4.4.7)
где
60 = l_icV2-|C4r\ bi - c2kr -j- у c4&r3, b2= - i-c2k2-j cW, | b3 = ~c^r,
bi = -\гск№.
(4.4.8)
Далее имеем
Q Qo
_6 -"?-|-b ^rBoJrBlt,JrB2^2jrB3t,3,
Q------, В'а + В[1+В'&+В'гъ\
i-v ~i-v
где
Qo = M + M2 - &з&3 + ^4, Bo^bi - Ъф + fc3fc2- ь4ь3,
- b3 - 646.
(4.4.9)
(4.4.10)
§ i-i]
ВЫЧИСЛЕНИЕ ВЕЛИЧИНЫ А2
117
Что касается выражений для Вг и В3, то они нам не потребуются. Очевидно,
коэффициенты Q'0 и получаются из <2о и Bh заменой b на -Ъ'.
Учитывая (4.4.9), мы из (4.4.4) получаем
Az== cq'toi-rgv-toi |(б0_б;)] /r=Fd? +
-i
i
-1 -1
1 1
+ (5,-5;) J ?}/Т31Г2^ + (я2-я;) J S2VrT=SsdS+
-i -i
i
+ (53-5;)j S"/T^dS}. (4.4.11)
-l
Вычислив интегралы, стоящие в правой части (4.4.11), будем иметь
4 - cq
Лч -
' Ola TU) V 2gj | ^ + QP _
-(^о/^Т + ^/^Г1) +
+-1(Я0-Я;) + ±(Я2-Я;)}( (4.4.12)
где
T]i = 6*, 112 = 6, (4.4.13)
причем б* и б определяются равенствами (3.7.18) и (3.7.2).
Если в формулы (2.6.8)-(2.6.10) подставить вместо б его значение из
(3.7.2), то получим
р'= -ТТТЗЖ {1 + 4е4 (1 - ^2) (1 - "2) (1 - 2s2)}, (4.4.14)
cq
е (1 - е2)
1 а2
' = а |^1 - е2 11 + 2е2 (1 - s2)-
2 1- е2
- е4 [4 (s2- s4) + 2е2 (1 -s4)] -
(4.4.15)
118
УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ЭЙЛЕРОВЫХ ЭЛЕМЕНТОВ [ГЛ. IV
Используя формулы (4.4.13)-(4.4.15), мы можем выразить сначала Ь, Ъ', г я
к, а затем bh, Q0, Q'u, Bh и Bh через элементы а, е и s. Если подставить
значения этих постоянных в (4.4.12), то можно найти А2 как
функцию
а, е и s. Для того чтобы выразить А2 через ос1? а2, сс3,
нужно воспользоваться формулами (3.18.12)-(3.18.15). Опуская выкладки,
приведем окончательный результат:
А -а -а c2(/m)2fi "§\
- 2 4А2(Х2 ССI /
3 с4 (fm)* 14 R , х "$ \
