Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
сталла занимают свои равновесные положения в узлах
кристаллической решетки. Такой подход не позволяет рассмотреть
свойства экситонов, такие, например, как их подвижность, форму
полос
78 ЭКСИТОНЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [ГЛ. II
экситонного поглощения света и другие, которые обусловлены
экси- тон-фононным взаимодействием.
Для того чтобы найти оператор, отвечающий этому взаимодей-
ствию, предположим, что молекулы кристалла смещены из своих
положений равновесия и их ориентации также отличаются от рав-
новесных.
В этом случае гамильтониан кристалла для экситонной области
спектра по-прежнему может быть представлен формулой (4,3), в
которой, однако, величины efo, 3)), оказываются зависящими от
малых смещений, характеризующих отклонения молекул от их рав-
новесных положений и ориентаций. Разлагая эти величины в ряд
по степеням малых смещений, легко получить гамильтониан,
зависящий как от операторов рождения и уничтожения
молекулярных возбуждений, так и от переменных, описывающих
смещения молекул. Если затем учесть также оператор
кинетической энергии смещения ядер, то полный оператор
кристалла для экситонной области спектра можно представить в
следующем виде:
H = He-\-HL-\-fieL, (7,1)
где Не-оператор Гамильтона для экситонной области спектра в
случае идеальной кристаллической структуры, HL-оператор Гамиль-
тона, описывающий колебания решетки* при отсутствии экситонов,
HeL - оператор экситон-фононного взаимодействия, зависящий как
от операторов рождения и уничтожения возбуждений в молекулах,
так и от величины смещений молекул из своих равновесных
положений. Если в разложении величины в (4,3) по степеням
малых смещений опустить слагаемые третьего и более высоких
порядков, то после введения нормальных координат оператор НL,
как известно, может быть представлен в виде суммы
гамильтонианов, отвечающих гармоническим осцилляторам
нормальных координат. После перехода к операторам рождения и
уничтожения фононов, т. е. к операторам Ь^г и bv (q - волновой
вектор фонона, г-номер его ветви частот), оператор HL принимает
вид
HL = 51 (q. г) [bvbv + 4) • (7.2)
qr
Если теперь перейти от операторов Bnf, B"f к операторам рожде-
ния и уничтожения экситонов, т. е. к операторам 5ц (к), В?
(к), диа- гонализующим оператор Не, то оператор экситон-
фононного взаимодействия в линейном по смещениям молекул
приближении может быть представлен в следующем виде:
2 2 ^(k-f q, И-; k, |i'; qr)5jT(k + Я)5и' (k)(V + *-v)-
ЭКСИТОН-ФОНОННОЕ ВЗАИМОДЕИСТВИЕ
79
При получении (7,3) ради простоты были опущены слагаемые, про-
порциональные В+В+ и ВВ, описывающие одновременное рождение или
уничтожение двух экситонов.
Коэффициенты F, фигурирующие в (7,3), удовлетворяют условию
F(k-fq, р; k, р'; qr) = F(k, р'; k-j-q, р; - qr), (7,4)
которое следует из эрмитовости оператора HeL. Если экситонные
зоны достаточно разделены и эффекты "смешивания" экситонных
зон, обусловленные экситон-фононным взаимодействием, слабы,
можно опустить в (7,3) слагаемые, где \i ф \i'. Тогда в
окрестности изолированной р-й экситонной зоны
= S ^(k+q. И; k, р; qr) Б+ (к + q) В" (к) (bqr + btv)- (7,3а)
к, q, г
Оператор экситон-фононного взаимодействия в виде (7,3)
использовался в целом ряде работ (см., например, [11 - 13]).
Коэффициенты F, фигурирующие в (7,3), определяются первыми
производными от величин 3/ и М"т по смещениям молекул из своих
равновесных положений. Однако, если эти величины определять,
допуская, что между молекулами имеет место только диполь-
дипольное взаимодействие, то 3Sf = 0. В этом приближении
оператор (7,3) использовался в работе [13] для анализа условий
применимости приближения слабого экситон-фононного
взаимодействия, в котором оператор (7,3) может рассматриваться
как слабое возмущение.
В то же время еще Френкелем (см. по этому поводу также мо-
нографию Давыдова [14]) был указан другой предельный случай, а
именно случай сильной экситон-фононной связи. В случае сильной
экситон-фононной связи предполагается, что время перехода
возбуждения от одной молекулы к соседней велико по сравнению с
тем временем, в течение которого происходит смещение молекул в
новые равновесные положения, вызванное изменением сил
взаимодействия, возникающим при возбуждении одной из молекул.
В кристалле поэтому появляется локальная деформация, которая
перемещается вместе с возбуждением по кристаллу. Для таких
экситонов волновой вектор уже не является "хорошим" квантовым
числом, если зависимость равновесных положений молекул от
положения возбужденной молекулы делает ширину экситонной зоны
слишком узкой (точно так же, как это имеет место в теории
поляронов [15]). В этом случае движение экситона
("локализованного", по терминологии Френкеля) принимает, как и
движение носителей тока в полупроводниках с малой подвижностью
[16, 17], характер скачков (более подробно по этому поводу см.
§ 2 гл. IX).
Для нахождения волновой функции "локализованного" экситона
