Теория экситонов - Агранович В.М.
Скачать (прямая ссылка):
имеется одна молекула, уравнения (4,9) упрощаются:
2 3?fg (к) и,,ц (к) = Е^(к) uf, "(к), (4,10)
g
где
(к) = (Aef + 3>f) bfg 4- и* (к),
//^(к) = 2 ^nm exp {/к (n - m)}.
Ш
При этом давыдовское расщепление отсутствует, а при наличии
вырожденных молекулярных термов возникает лишь расщепление,
аналогичное расщеплению по Бете (см. § 1 гл. I).
64 ЭКСИТОНЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [ГЛ. П
Если существенное значение имеют только два возбужденных со-
стояния, то величину ?^(к) можно записать в явном виде:
(к) = ~ [А, + А, + (-1/1 [(Л, - Л2)2+1L12 (к) |2 ]1/2}, (4,11)
где
Л5=Де5 + ^ + 1"(к), ц, s=l,2.
Коэффициенты и^ при этом определяются с точностью до нор-
мировки равенствами
2L"(k) и211 (к)
А-А, - (-I)11 V(Al~A2? + \L^( к) |2
Волновые функции возбужденных состояний кристалла в координат-
ном предстаслении в этом случае имеют вид
^ (k) = wS " /И (k) егкПфп П
;п/ n
Учитывая (4,11) и (4,12), можно убедиться, что вклад второго
возбужденного внутримолекулярного состояния в энергию
экситонов, близкую к энергии первого внутримолекулярного
возбуждения, имеет существенное значение только при выполнении
неравенства
(A-^)2^|i12(k)|2. (4,13)
Несколько молекул в элементарной ячейке
Роль смешивания молекулярных состояний может быть особенно
существенной, если в элементарной ячейке кристалла содержится
несколько молекул. При этом наиболее актуальным оказывается
учет смешивания для экситонных зон, которым отвечают малые
значения величины давыдовского расщепления.
Качественно это обстоятельство обусловлено тем, что даже
если каждый из экситонных термов при учете смешивания
смещается мало, соответствующие малые разности энергий (т. е.
величины расщепления) могут, вообще говоря, измениться при
этом значительно. Кроме того, учет смешивания сказывается на
распределении интенсивностей переходов, отвечающих отдельным
компонентам расщепления (см. § 6).
В связи с тем, что как величина расщепления, так и интенсив-
ности экситонных переходов могут быть в ряде случаев
экспериментально определены с высокой степенью точности,
теоретическое определение указанных величин также представляет
интерес.
Из ранее сказанного следует, что для определения al величин
?д(к), фигурирующих в уравнениях (4,9) необходимо раскрыть и
решить
§ 4] ТЕОРИЯ СМЕШИВАНИЯ МОЛЕКУЛЯРНЫХ КОНФИГУРАЦИЙ
65
вековое уравнение порядка о/. Ясно, что эта процедура
является, вообще говоря, громоздкой уже при I - 2 и о > 2.
В этой связи заметим, что использование свойств симметрии
кристалла существенно упрощает изучение экситонных состояний
при учете смешивания. При этом основное упрощение обусловлено
возможностью перехода в операторе энергии кристалла к новому
представлению, волновые функции которого осуществляют
неприводимые представления пространственной группы кристалла и
в котором оператор энергии кристалла, но без учета операторов,
приводящих к смешиванию молекулярных конфигураций, диагонален.
В этом новом представлении вековое уравнение распадается, так
что вместо определителя порядка ol приходится рассматривать
определитель порядка I.
Рассмотрим этот вопрос более подробно. При этом оператором
Й3, фигурирующим в (4,2), пренебрегать не будем, ибо учет этого
оператора в гамильтониане кристалла, вообще говоря, существен
и, кроме того, не усложняет процедуру вычислений.
В соответствии с (4,3) оператор АН можно представить в виде
Л^ = 5]Л/?/ + Т % M'ZiB+g + BnJiB+f + Bnf), (4.14)
f f?=g п, т
где оператор
AHf = 5] (Ае/ + SSf) BtfBnf + 4 5]' м'а (В+, + В т/) (В+, + Bnf)
п п, т
(4.15)
имеет вид (3,1) и определяет экситонные состояния, отвечающие
/-му молекулярному терму без учета смешивания молекулярных со-
стояний.
Как было показано в § 3, вместо бозе-операторов Bnf и В
можно ввести линейно связанные с ними бозе-операторы Вд ^ (к) и
^И/)(к), относительно которых оператор АН* преобразуется к
диагональному виду. Именно, в соответствии с (3,5)
A Hf = - 2 ?ц(/)(к)Ки(/)|2+ 2 (/) (k) (к) (к),
М• (/)> а И(Л. к
(4.16)
причем
ваа>/=^-'1г 2 kM/)(k)*'kr(tm)sM/)(k)+
М (/)" к
+ (/) (к) е~1кГпа (к)). (4,17)
5 В. М. Агранович
бб ЭКСИТОНЫ В ПРЕДСТАВЛЕНИИ ВТОРИЧНОГО КВАНТОВАНИЯ [ГЛ. и
Индекс i-i (/) в формулах (4,16) и (4,17) обозначает одно из
экси- тонных состояний, которое соответствует /-му
молекулярному терму
при неучете смешивания, так что 2 означает суммирование по
всем
и(Л
экситонным состояниям, отвечающим этому молекулярному терму.
Ясно, что в новых переменных диагонален также оператор 2 Д#Л
равный оператору ДН [см. (4,14)] лишь при неучете слагаемых,
приводящих к смешиванию молекулярных конфигураций (речь,
очевидно, идет о слагаемых, пропорциональных матричным
элементам М / Ф g). Учет этих слагаемых приводит к следующему
выражению для оператора ДЯ:
ДЯ = - J] (/>№)! "аМ/>(к)12 +
/, и(Л. к, а
+ ^(Л(к)5Д(л(к)511(Л(к) +
/. Д(Л. к
+ Y Д ("¦) (к) (/) (к) (В) (- к) +
/Фг. м-(/>" 4(g)
D\L\f) д {g) (к) B^(f) (к) Вд {g) (- к) -f- }/), ц {g) (к) Вд
