Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


Решение. Очевидно, что Z = 2 по формулам
(8.5.4) и (8.5.10) получим:
mz = а*тх\ (8.5.11)
D^aiml + Dx). (8,5,12)
Например, если a — my = Dy = 100 (ИД), тх«500 (знаков), Ox — Wx = 100 (знаков), то тг —100 • 500 -» «50000 (знаков);
O1« Wz - 1400(25000+10000) «5090 (знаков).
Заметим, что если коэффициент вариации числа знаков в ИД равен ож/т,»0,2, то коэффициент вариации числа знаков, вводимых в ВЦ в течение суток, будет о,//яа & 0,102, т. е. величина Z существенно «менее случайна», чем X. >
Пример 2. Анализируется работа по наладке сложного электронного прибора (ЭП), которая проводится в несколько попыток. Каждая попытка наладить ЭП завершается успехом с вероятностью р независимо от того, сколько до этого проводилось таких попыток и как долго они длились. Длительность 1-ой попытки наладить ЭП
8.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ СУММЫ СЛУЧАЙНОГО ЧИСЛА 801
есть случайная величина Г< с характеристиками M [T(\
— т и D [Ti] = D (i = 1, 2, ...). Случайные величины 2г< независимы между собой и не зависят от числа попыток наладить ЭП.
Требуется найти математическое ожидание и дисперсию времени T1 затраченного на наладку ЭП.
Решение. Очевидно, что время T будет равно:
где случайная величина Y имеет «геометрическое +1» распределение:
rriy = l/p\ Dy = q/р2.
По формулам (8.5.4) и (8.5.10) получим:
M [T] - mlpx (8.5.13)
D [T] = m2q/p2 + D/p. (8.5.14)
Так, например, если вероятность наладить прибор в одной попытке р = 0,5, а w = 2 (часа); a = VZ>«=» 1 (час), то M [T] = 2/0,5 = 4 (часа).
Dm-2«.^ + J^.l-10(4ac«)f
о[T] = VOW] = ViO = 3,16(час). >
Рассмотрим еще один пример, связанный с суммой случайного числа случайных слагаемых.
Пример 3. За время пролета космического летательного аппарата (KJIA) в окрестностях кометы он подвергается «бомбардировке» различными частицами, образующими «атмосферу» (кому) кометы. Частицы в атмосфере кометы образуют трехмерное пуассоновское поле точек с параметром a(A) = a0/A, где А —расстояние от KJIA до поверхности кометы. Каждая частица имеет случайную массу G, распределенную по закону Релея (7.9.26) с математическим ожиданием g. Энергия соударения частицы с KJIA равна Gv2/2, где v ~ скорость пролета KJIA в атмосфере кометы, которая считается постоянной. Вероятность р того, что частица, попавшая в КЛА, пробьет его защитную поверхность, равна вероятности того, что энергия ее соударения с KJIA
302
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
превысит пороговый уровень \х:
Расстояние до поверхности кометы как функция времепи определяется по формуле
где U — момент пролета KJIA на минимальном расстоянии от кометы; h0 — минимальное расстояние между KJIA и кометой; Ai — заданный коэффициент.
Требуется определить м. о. и дисперсию с. в1. Z — числа пробоин на защитной поверхности КЛА.
Решение. Введем индикатор события А = {пробой поверхности) для каждой частицы:
1 — если і-я ударившаяся в KJIA частица g пробивает защитную поверхность КЛА;
1 ~~ 0 — если г-я ударившаяся в КЛА частица
не пробивает защитную поверхность КЛА. M[X1]^p; D[X1]
Тогда
где Y —- число соударений частиц с поверхностью КЛА за время его пролета около кометы.
По условиям задачи случайная величина Y имеет распределение Пуассона. Найдем ее м. о. Сначала найдем м. о. числа соударений частиц с поверхностью КЛА, которое произойдет на интервале времени (t, t + dt) полета КЛА.
По определению, опо будет равно объему пространства, в котором пролетит КЛА за это время (s*v-dt), умноженному на плотность частиц в этом пространстве $-v>a dt
(oi(h(t)): -~-,где 5 —площадь «сечения» КЛА.
М'-'о) +К
Математическое ожидание с. в. Y найдем по формуле:
h(t) = hl(t-t0)
2 + h{
'0,
Y
z = 2 X1
OO
8.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ СУММЫ СЛУЧАЙНОГО ЧИСЛА 303
Так как ? = 0 — начало полета КЛА, то
OO
svaQdT nsvaQ
Найдем величину р:
,-Р{?>^}-Р{е>*}-1-Р{в<^}-
_ 1 _ ехр {- (^)2 /(2^-4)} - 1 ~ ехР
(8.5.15)
где g — м. о. массы частицы.
По формулам (8.5.4) и (8.5.10) получим:
M [Z] = ар; D [Z] = р2а + pqa = ар (р + q) = apt
В следующей гл. будет доказано, что св. Z — число пробоин на защитной поверхности КЛА распределено по закону Пуассона, поэтому M [Z] = D [Z]9 ^
Пример 4. Рассматривается формирование железнодорожного состава, состоящего из грузовых вагонов. Число вагонов в составе Y случайное с параметрами mv = 200 и Oy = 8. Вес перевозимого f-м вагоном груза является св. Xi с характеристиками т* = 50 (тонн) и о« —3 (тонны). Найти характеристики (м. о. и с. к. о«) веса Z, перевозимого составом, если вес груза каждого вагона не зависит от веса груза других вагонов. Решение. Очевидно, что
По формулам (8.5.4) и (8.5.10) находим:
M [Z] = т2 = тх-ту = 10000 (тонн), D [Z] « 502-64 + 1800 - 161800 (тонн2), a [Z] - 402,2 (тонн).
По «правилу трех сигма» находим практически возможный диапазон перевозимого составом груза:
т2 ± Зо, - 10000 ± 1206 (тонн). >
т.е. M[Z] = D[Z].
Y
Z -2 *



