Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):


OO
а2 [F] = 2<х2 [X] - 2 j x2F (х) / (х) dx. > (8.6.4)
— 00
Пример 1. Для повышения надежности срабатывания автоматической парашютной системы установлено два радиовысотомера, работающие независимо друг от друга. Оба высотомера настроены на срабатывание на высоте A; ошибка измерения высоты распределена равномерно в пределах зоны нечувствительности радиовысотомера ±Д, систематических ошибок нет. Надежность работы каждого высотомера равна p = l — q. Автоматиче-
308
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
екая система срабатывает, как только один из высотомеров покажет значение высоте, равное fe. Требуется определить математическое ожидание и дисперсию высоты К, на которой срабатывает автоматическая парашютная система.
Решение. Рассмотрим две гипотезы: H2 автоматическая парашютная система срабатывает при исправной работе обеих высотомеров, Hi —- автоматическая система сработает при исправной работе одного из высотомеров. Очевидно,
Обозначим с. в. Yh2 — высоту срабатывания парашютной системы при наличии гипотезы H2. Следовательно,
где X1, X2 —- независимые, одинаково распределенные с в., распределенные равпомерно в интервале (А —Д; А+ А).
Для упрощения вычислений введем центрированные случайные величины
Плотность и функция распределения центрированных случайных величин:
P (H1) - P2I(P2 + 2pq); P (H1) = 2pq/(p2 + 2pq).
Yh2 = HHn(X1, X2},
о
о
X1 =
X1-A; X2 = X2-A.
f(x) = 1/(2Д) при X «= (- А, А);
0 при х< — А; F(x) = \(х + А)/(2А) при іє(-Д,А);
1 при ?>А.
min {Х„ X2} - min (X11 X2} + h.
По формулам (8.6.3), (8.6.4), паходим
а
M Mn(X11X2}]= 2-0-2 J хх-±±.± dx - - А,
M [(min (X1, X2})*] = 2-а2 [X] - 2 J а* <Zz -
8.6. ХАРАКТЕРИСТИКИ МИНИМУМА И МАКСИМУМА 309
M [Y2H2] - M [(min {X1, X2})*] = h* - 2 fh + \
D[Fh2] = M[FhJ-(M [Fh2J)2 -Ц* Очевидно, что
M[FhJ=A; D[Fh1]=^
так как при гипотезе H1 работает только один высотомер. Следовательно,
M [F] = M [Fh1J-P(^1) + M [Fh2J-P(^2)
M IF2] - M [Fh1J-P{H1) + M [HIrJ-P (Я,)
k 3V + 2W'
З 3 р« + 2рї»
откуда
Dm-M [F2J - (M [F])2 = ^ - ? т-^-.
Обычно вероятность срабатывания высотомера в парашютных системах довольно высока, поэтому величина рг1 (р2 + 2pq) близка к единице. Например, если р = = 0,9999, то рг/ (рг + 2pq) = 0,9998. Поэтому с достаточной точностью можно считать, что
M[F]=A-|- = m*-T; D[F] = у-| = Ae-f»
где JYix и Dx — математическое ожидание и дисперсия высоты срабатывания каждого высотомера. >
Пример 2. Анализируется работа вычислительной системы (ВС), состоящей из двух блоков, работающих пезависимо друг от друга. Время безотказной работы 2\ и T2 блоков — независимые случайные величины, распределенные по законам Эрланга kt и к2 порядков с па-
Следовательно,
M [FhJ = M[min{X1, X2}] = M[min {X1, X2} + h] = А—§-;
Л8
310 ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
ft__
(Ar1-I)I(X1 + ^)
V (» + ^ + 1)1/ \ Y
* »' Ui+к)
, ft %\п+к2+і)\/ K1 у (.,-Wx+4>"+e a(8A6)
раметрами и K2 соответственно. Для работы ВС безусловно необходима работа каждого блока. Требуется найти характеристики времени T безотказной работы ВС.
Решение. Очевидно, что Г = тіп{Гі, T2). В п. 6.4 было показано, что плотность и функция распределения случайной величины 7\, распределенной по закону Эр-ланга к{ порядка с параметром Ки определяются по формулам
/і(0 = Яі(Яіо"і"1ГМ|(^-1)!;
/•,(0 = 1-2 (ht)ne~4tjn\ (і = 1,2).
П=0
Воспользуемся формулой (8.6.1) и найдем интеграл вида
OO
J IF2(Df1It) dt =
—оо
*i ft V(" + *i)' I K Y
Заметим, что M [T1] == Ar1A1; M [T2] = k2/K2. Следовательно, по формуле (8.6.1) получим:
M [min {^1, Г2}] =
K1 у (» + *хУ
, ft V(» + *,)'f *i Y (8acs
+ (ь2-тк+к?*+1^—^)' (8-6'5)
С помощью аналогичного приема получим: M [(min {T1, T2}?) =
8.6. ХАРАКТЕРИСТИКИ МИНИМУМА И МАКСИМУМА 311
—00 OO
M [y2] — M [(max {X1, X2})2] - 2 J X2f (х) f(x) dx. >
— 00
(8.6.10)
Пример 2. С целью увеличепия времени t безотказной работы вычислительной системы (ВС) ее ком по-
В частности, когда случайные величины 7\ и T2 распределены по показательным законам с параметрами X1 и X2 (A1-I, к2 = 1), получим:
M [min {T1, T2)) _ _* ; M [(min (f и T2))2] - rr-^i
Л1 * л2 (A1 ~г A2)
Dlminf^rj]--^. >
Задача 2. Случайная величина У представляет собой максимальную из двух случайных величин:
У— max (X1, X2},
где X11 X2 — независимые непрерывные случайные вели-чипы с плотностями /.(Z1) и f2(x2). Найти числовые характеристики случайной величины У.
Решение. Применяя прием, использованный в задаче 1 этого пункта и пользуясь формулами (8.4.17) и (8.4.18), получим
M [У] - M [max {X1, X2}] -mXl + mX2-M [min(X1, X2}] -
OO OO
- j »AW/iW^i+ j x2f1(x2)и(хл)ахл', (8.6.7)
— OO —00
M [y2]«- M [(max {x1, x2))2] —
- Ct2 [X1] + сса [X2] - M [(min {X1, X2})'] -
OO OO
- J xlfax1)/mdx1+ J xlf1(x2)f2{x2)dx2. (8.6.8)
— 00 —00
Если случайные величины X1, X2 распределены одинаково, то



