Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
где т = (а — мх)/ах, Ф (х) —* функция Лапласа. >
Задача 3. Случайная величина У определяется следующим образом через случайную вели ч и її у X:
Y =
а при X ^ а, X при а <Х ^b1 Ъ при Ь<Х.
(8.4.26)
График этой зависимости представлен на рис. 8.4.3.
Зная закон распределения случайной величины X, найти числовые характеристики случайной величины У.
Решение. Если случайная величина X непрерывна, то
ь
ту = аР (X < a} + J xf (х) dx + ЬР {b < X) =
а
= aF (a) + J xf (х) dx+b[l — F (6)], (8.4.27)
а b
CX2 [У] = аЧ (a) + j x2f(x) dx+b*[i-F (b)]; (8.4.28)
где /(#)— плотность распределения случайной величины X.
Если X дискретна, то
(a) (b) п
Щ = а 2 Pi + 2 + Ь 2 Pi,. (8.4.29)
і=1 г=(а)+1 і=(6)+і
(a) (b) п
а2[У] = а22Рі+ 2 4/>і + Ь2 2 Pi1 (8,4.30)
, i=x і=(а)+х і=(Ь)+1
8.4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗНЫХ ФУНКЦИЙ 297
где (а)—номер максимального из возможных значений случайной величины X, меньшего (или равного) а, (Ь) — номер минимального из возможных значений случайной
ВелИЧИНЫ X, боЛЬШеГО, ЧЄМ Ь] Pi = P {X = Xi}. >
Пример 4. На вход стабилизатора подается напряжение X, имеющее нормальное распределение с параметрами тх, Ox. Стабилизатор работает по алгоритму (8.4.26). Найти характеристики на выходе стабилизатора.
Решение. По формулам (8.4.27) и (8.4.28) находим
+ Ь 1O1S - Ф (t0)] = а [Ф (t0) + 0,5J + тх [Ф (ть) - Ф (та)] + + [<ГТ«/2 - е~Щ + Ъ [0,5 - Ф (t6)], (8.4.31)
где
to =(« — тх)1ах; ть == (Ь — тх)/ох; Ct2 [Y] - а2 [Ф (та) + 0,5] + (а2х + ті) [Ф (ть) - Ф (т0)] +
+ Ь2[0,5-Ф(ть)]. (8.4.32)
Если участок (а, Ъ) симметричен относительно точки тх и длина его равна 2Д, то ^ (г)
Ь — тх
тх + А — тх
а — т„
о.
! -— т; Ха — • ¦ — т, В этом случае ту = тХ1
Рис. 8,4.4
2о2
а2 [У] = + А2 + 2 (о| — А2) Ф (т) - ^ те^.
D [У]-? [Г]-mJ-Z),, (т)
У2д
т2 + 2(1-т2)Ф(т)-2т^
• (8,4.33)
298
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
При т О (Д 0) мы в пределе имеем дело с идеальным стабилизатором напряжепия: Y-^mx и Dv-*-0. При т-»-OO (А оо) никакой стабилизации напряжения не будет: У = Х и Dy = Dx, На рис. 8.4.4 показан график зависимости (8.4.33). >
8.5. Числовые характеристики суммы случайного числа случайных слагаемых
Задача 1. Случайная величина Z представляет собой сумму случайного числа случайных слагаемых.
Z-SX1, (8.5.1)
где Xi (і = о, 1, 2, ...); у—случайные величины, X0=» — о —не случайная величина. Случайная величина у не зависит от слагаемых Х<, имеет характеристики ту и Dy и может принимать целочисленные значения О, 1, 2, ... А, система св. X, (ї = 1, 2, ...) имеет характе-= 1, 2, ,..) и ковариационную матри-
[XiXjJ (/, / = 1, 2, •..). Если в сумме нет слагаемых (у = 0), то она равна нулю потому что X0 = O (го0 = 0; Z)0 = O).
Найти числовые характеристики с. в. Z: тг и Dt. Решение. Пусть нам известен закон распределения с. в. у:
Рассмотрим гипотезу, состоящую в том, что {у — к). Условное математическое ожидание случайной величины Z при этой гипотезе будет:
[ft "1 ft ft
2 Xi - 2 м №] = 2 щ- (8.5.2) {«O J і*0 t—О
По формуле полного математического ожидания '(8.1.20) получим:
ристики: м. о; /га, ( цу WKJ: Кц - M
M [Z] - S M [Z| Y - ft].рА - S ( S ««U- (8.5.3)
ft—О ft=0 \i=0 /
8.5. ХАРАКТЕРИСТИКИ СУММЫ СЛУЧАЙНОГО ЧИСЛА 299
ft=o
S [І S (mrm} + Ки)] ph. (8.5.6)
a==o L i=o j=o J
Если случайные величины Xt = 2, ...) некоррели-рованы, то KiJ = O при Ku = Dit В этом случае
oo Г ft ft ft
a2 [Z] = S S S теплі + S A pfc. (8.5.7)
ft=о L i=o j=o i=o J
Если случайные величины X1 (і = 1, 2, ...) одинаково распределены и одинаково коррелированы Гц = г} то
M [Xx] = т{ = "їх, D [X1] = Ku = Z)x; Ka = Kx^rDx (i ^f)9
В этом случае:
OO
«г [2] - S +kDx + k(k- 1) rZ>x] pft =
ft=o
сеа [У] m| + myDx + (a2 [Г] - mv) rDx. (8.5.8)
Если с. в. Xi (при і > 0) распределены одинаково, то VfIi = TYix О' = !, 2, ...) и выражение (8.5.3) примет вид:
OO / h \ OO OO
Mz = 2 2 тх ) Ph = 2 kmxpk = тх 2 &Pft = ^xW1,.
Jt=o \i=0 / a=O ft=0
(8.5.4)
Особо отметим, что формулы (8.5.3) и (8.5.4) справедливы как для зависимых, так и для независимых с. в. X1 0 = 1, 2, ...).
Аналогично найдем второй условный начальный мо-меїт случайной величины Z
a2[Z\Y = k] = M[Z*\Y = k] = M\ (2 Xi
L \i=o
= M [ (І X1) (S Xj) I = SS (»Ч"»і + * и). (8.5.5)
. Vi=O /\і=о /J і=0 J=O
Откуда, по формуле полного м. о., a2[Z] = M[Z*]= S M[ZMF = *]•/>„ =
300
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
Дисперсию случайной величины Z найдем по формуле: DZ = D [Z] = Ct2 [Z] -т\ =
= mlDy + myDx + rDx (? [Y] - ту). (8.5.9)
Если случайные величины Х{ (i = l, 2, ...) одинаково распределены и некоррелированы, то
D2 = mlDy + myDx. (8.5.10)
Рассмотренная задача имеет большое практическое значение. >
Пример 1. Рассматривается работа вычислительного цептра (ВЦ), в который ежесуточно вводится случайное число У информационных документов (ИД), распределенное по вакоиу Пуассона с параметром a (mv = Z)v = ва). Каждый ИД содержит случайное число знаков X1 которое не зависят от того, сколько имеется знаков в других информационных документах. Известны M [X] =* тх и D[X] = Dx. Определить м.о. и дисперсию числа знаков Z1 вводимых в ВЦ в течение суток.
