Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Пример 4. Проводится ряд тестов с целью локализации неисправности технического устройства (ТУ); после первого теста неисправность локализуется с вероятностью 0,2; после двух тестов — с вероятностью 0,6; после трех тестов — с вероятностью 0,9; четырех тестов всегда достаточно для локализации неисправности. Случайная величина Y — число тестов, которое придется провести. Найти числовые характеристики св. Y — м. о. тУ1 дисперсию Dy, с. к. о. Oy.
Решение. Этот пример можпо решить, пользуясь результатами, полученными в задаче 10 этого п.
В данном случае G(O) = O; G(I)= 0,2; G (2) = 0,6; G(3) = 0,9; G(4)=l; G (лі) = 1 при m>4. По формулам (8.3.22), (8.3.28):
m, = [1-G(O)]+ [1-G(I)] +[1-C(2)] + [1-G(3)] =
= 1 + 0,8 + 0,4 + 0,1 = 2,3;
OO
Dy = ту (і - ту) + 2 2 m{i-G (лі)) = 2,3 (1 - 2,3) +
+ 2(0-1 + 1-0,8 + 2-0,4 + 3-0,1) = - 2,99 + 3,8 = 0,81, Oy = 0,9. ^
Пример 5. Работают независимо друг от друга я = = 20 накопителей на магнитных лентах (НМЛ). Вероятность выхода из строя в течение суток для каждого из НМЛ равна р = 0,2. Найти м.о., дисперсию и с к. о. числа X НМЛ, которые выйдут из строя в течение суток.
8 3. ПРИМЕНЕНИЕ TEOPKM 0 ХАРАКТЕРИСТИКАХ 289
ф*] = уD [р*] » 2,04 • Ю-2; Зо [/>*]« 0,0612.
10 Теория вероятностей и ее инженерные приложения
Решение. Согласпо решению задачи 3 M[X] = пр = 20.0,2 = 4;
D[X] -npg- 20-0,2-0,8 = 3,2; Ox= /Д~«1,79. *
Пример 6. Условия совпадают с условиями примера 5, но с той разницей, что НМЛ выходят из строя зависимо друг от друга; вероятность того, что выйдут из строя і-й и ;'-й НМЛ для всех пар НМЛ одна и та же и равна P = 0,05. Найти м.о., дисперсию и с. к. о. числа X вышедших из строя за сутки НМЛ.
Решение. Математическое ожидание с. в. X остается тем же, что и в примере 6:
M [X] =пр = 4.
Дисперсию найдем согласпо решению задачи 5 (формула (8.3.11)). Поскольку все вероятности Pi и Pu одинаковы: Pt-=/> = 0,2 (1 = 1, 2, .., 20); P0-P-0,05 (для всех і ^j), а число всех возможных пар НМЛ с различными номерами (i<j) равно
2 _ 20-19 _ iqo.
20 ~~ 1-2 ~~~
формула (8.3.11) дает
D[X]= 20•0,2¦0,8+20•19(P-P2) =
= 3,2 + 380(0,05 - 0,04)'= 3,2 + 3,8 - 7,0,
о [X] = /DlXf «2,65. >
Пример 7. Производится п = 600 бросаний монеты; случайная величина /?* — частота появления герба: р* = Х/п, где X —число появлений герба (п. 1.3). Найти м.о. случайпой величины ео дисперсию и с.к.о. Пользуясь «правилом трех сигма», найти диапазон практически возможных значений с. в. р*. Проверить, укладывается ли частота появления герба при п — 600 бросаниях, полученная в примере из п. 1.3, в этот диапазон.
Решение. Согласно решению задачи 8 данного п. имеем:
M [/>*] = р = 0,5;
0[Р^-^-2й-5«4,17.1(Г*г
290
ГЛ. 8. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ФУНКЦИЙ
Диапазон практически возможных значений е. в. р*: 0,5 ±0,061, т. е. от 0,439 до 0,561; результат р* ^ 0,505, полученный в примере из п. 1.3, в этот диапазон укладывается. >
Пример 8. Для уточнения определения массы тела на точных весах производят п = 40 взвешивании и осред-няют их результаты:
Х = 4" 2 Хъ
i=l
где Xi — результат г-го взвешивания. Систематической ошибки весы не дают. Среднее квадратическое отклонение одного взвешивания равно о* = 3 (мг). Найти сред-пее квадратическое отклонение случайной величины Y — среднего арифметического из п = 40 взвешиваний.
Решение. Согласно решению задачи 7 данного пункта (формула (8.3.16)
a*=w-^°'474 (Mr)- >
Пример 9. Сколько раз нужно произвести взвешивание тела в условиях примера 8 для того, чтобы среднее квадратическое отклонение св. Y не превышало ,0,1 (мг)?
Решение. Имеем:
а, = -^ = -^-<011; уп уп
отсюда V^^qj; п>900. Итак, достаточно л = 900
взвешиваний. >
Пример 10. В партии из N изделий имеется К доброкачественных и (N-K) дефектных. Из этой партии наугад выбираются п изделий без возвращения. Определить м. о. и дисперсию числа X доброкачественных изделий среди п выбранных.
Решение. Очевидпо, с. в. X имеет гипергеометрическое распределение с параметрами а -* К\ b**N — К\ /г. В соответствии с формулами (8.3.12) и (8.3.13) получим:
8.4. ЧИСЛОВЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ РАЗНЫХ ФУПКЦИЙ 291
H-K-(N — К)
+ п>{п— 1)
N(N-I)
N2J
nK(N-K)(, п~-1\
N2 [ N~4
Если рассматривать св. У — число дефектных изделий среди п выбранных, то
Y = п — X; M[Y] = n-M[X]-nlN-K)i
D[F]=D[X]. >
8.4. Числовые характеристики
часто встречающихся в инженерной практике
функций случайных величин
Задача 1. Числовые характеристики минимальной из двух величин: случайной X и неслучайной а. Имеется непрерывная св. X с плотностью /(#); с в. У связана с X зависимостью:
У-тіп{Х, я), (8.4.1)
I
а
Рис. 8.4.1
X
где а — неслучайная величина.
Найти числовые характеристики— м.о. и дисперсию — с в. У.
Решение. Соотношение (8.4.1) можно записать в виде:
[X при Х<а,| а при X^a.
(8.4.2)
График функции у = тхт\{х, а) показан на рис. 8.4.1.
По формуле (8.1.10) для непрерывной св. с плотностью f(x) находим м.о. случайной величины У:
