Теория вероятностей и ее инженерные приложения - Вентцель Е.С.
ISBN 5-06-003830-0
Скачать (прямая ссылка):
Решение. Сначала найдем вероятность события А = = (неправильная квалификация одного отдельного изделия) по формуле полной вероятности. Гипотезы:
Hi = (изделие имеет дефект),
/Z2 = (изделие не имеет дефекта).
р(я1) = р; Р(Н2) = 1-р.
Условные вероятности события А при этих гипотезах равны:
P(A\HJ-l-Pl; P(A[H2) = Рг.
По формуле (2.5.2)
Р(А) = р(1-Рі) + (1-р)Рг.
Теперь найдем вероятность события В = (хотя бы одно из N изделий будет квалифицировано неправильно).
2.5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ 73
Гораздо проще будет найти вероятность противоположного события:
B = (все N изделий будут квалифицированы правильно).
Событие В есть произведение N независимых событий, каждое из которых состоит в том, что отдельное изделие квалифицировано правильно. Вероятность этого равна 1 — P (А) = 1 — [р (1 —P1)+ P2 (1 — р)]. По правилу умножения вероятностей для независимых событий
P (В) = (1 - [р (1 - р,) + р2 (1 - p)]f.
Откуда
Р(Я) = 1~Р(Я). >
Пример 6. Прибор состоит из двух дублирующих друг друга узлов и может работать в одном из двух режимов: нормальном и неблагоприятном. Нормальный режим наблюдается в 80% случаев эксплуатации прибора; неблагоприятный — в 20% случаев. Надежность (вероятность безотказной работы) каждого из узлов в нормальном режиме равна 0,9, в неблагоприятном — 0,6. При выходе из строя (отказе) узла происходит автоматическое и безотказное переключение на дублера. Найти полную вероятность P(A) безотказной работы прибора.
Решение. Гипотезы:
H1 — {прибор работает в нормальном режиме); Яг=8 {прибор работает в неблагоприятном режиме); Р(Я1) = 0,8; Р(Я2) = 0,2.
В нормальном режиме вероятность безотказной работы прибора
Рнор - 1 - (1 - 0,9)2 - 0,99; в неблагоприятном
Рнеб= 1-(1- 0,6)2 = 0;84. Полная вероятность безотказной работы прибора P(A) - 0,8-0,99 + 0,2-0,84 - 0,792 + 0,168 = 0,960. *
Пример 7. Сообщение может передаваться по одному из каналов связи, находящихся в различных состояниях; из них Пі каналов в отличном состоянии, W2-в хорошем, Tij — B посредственном и пк — в плохом (H1 + + w2 + n3 + n4 = n). Вероятность правильной передачи.
74 ГЛ. 2. АКСИОМАТИКА ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ
сообщения для разного вида каналов равна, соответственно, pi, р2, р3, р4. Для повышения его достоверности сообщение передается два раза по одному и тому же каналу, который выбирается наугад. Найти вероятность того, что хотя бы один раз оно будет передано правильно. Решение.
А = {хотя бы один раз сообщение передано правильно).
Переходим к противоположному событию:
А == {оба раза сообщение передано неправильно).
Сделаем ряд гипотез о том, по какому типу канала были переданы сообщения:
H1 = {по каналу в отличном состоянии), H2 «¦ {по каналу в хорошем состоянии), H1 = {по каналу в посредственном состоянии), Hi = {по каналу в плохом состоянии). P(H1)^nJn; Р(Нг) = щШ\ P(H3)^nJn] P(HJ^nJn.
Полная вероятность события A
P (1) - (1//I) [H1 (1 - P1)* + П% (1 - p2f +
+ >v(1-Рз)2 + Ml -PtYL р(Л) = 1-р(1). >
Пример 8. Производится посадка самолета на аэродром. Если позволяет погода, летчик сажает самолет, пользуясь, помимо приборов, еще и визуальным наблюдением. В этом случае вероятность благополучной посадки равна pi. Если аэродром затянут низкой облачностью, то летчик сажает самолет, ориентируясь только по приборам. В этом случае вероятность благополучной посадки равна р2; р2 < Pu Приборы, обеспечивающие слепую посадку, имеют надежность (вероятность безотказной работы) Л При наличии низкой облачности и отказавших приборах слепой посадки вероятность благополучной посадки равна р3; Рз < Рг. Статистика показывает, что в к% случаев посадки аэродром затянут низкой облачностью. Найти полную вероятность события А ~ (благополучная посадка самолета).
2.5. ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ 75
Решение. Гипотезы:
H1 =(низкой облачности нет}, H2 = {низкая облачность естьУ.
Условную вероятность р(Л|Я2) снова найдем по формуле полной вероятности с гипотезами
Н[ = {приборы слепой посадки действуют}, #2 = {приборы слепой посадки отказали},;
р(я;)-р(я;)-і-л
По формуле полной вероятности
р(л|яа) = <?рг + {!-<?) Рз.
Откуда
Пример 9. По объекту производится три одиночных (независимых) выстрела. Вероятность попадания при первом выстреле равна 0,4, при втором 0,5, при третьем 0,7. Для вывода объекта из строя заведомо достаточно трех попаданий; при двух попаданиях он выходит из строя с вероятностью 0,6; при одном — с вероятностью 0,2. Найти вероятность того, что в результате трех выстрелов объект будет выведен из строя.
Решение. A = {объект выведен из строя).
Гипотезы:
Я, = {в объект попал один снаряд), H2 = {в объект попало два снаряда), H9 = {в объект попало три снаряда).
Находим вероятности гипотез. Событие H1 представим в виде суммы трех несовместных вариантов:
{первый выстрел попал,] (второй выстрел попал,] второй и третий не > -f {первый и третий но і -f-попали j [попали j
(третий выстрел попал, второй и первый не попали
