Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
Под 8Я-порядком в 2 подразумевается всякое кольцо в 2, которое содержит 91 и является конечным 91-модулем. В соответствии со сказанным выше кольцо 0 является ЗЯ-порядком, как и любое кольцо, заключенное между ЭЯ и 0. Обратно, из определения целостности следует, что каждый ЗЯ-порядок ? в 2 состоит исключительно из целых элементов, т. е. принадлежит кольцу 0. Тем самым кольцо 0 можно охарактеризовать как 91-порядок в 2, содержащий все остальные ЗЯ-порядки. Кольцо 0 называют также главным порядком поля 2. Если пойдет речь об «идеалах поля», «единицах поля» и т. д., то всегда будут иметься в виду идеалы из 0, единицы из 0 и т. д. В соответствии С § 135 КОЛЬЦО 0 целозамкнуто в поле 2.
Результаты этого параграфа не остаются справедливыми в некоммутативных алгебрах над Р; препятствие состоит в том, что сумма двух целых элементов уже не обязана быть целой. Поэтому совокупность всех целых элементов не является порядком. Несмотря на то, что каждый порядок по-прежнему состоит из целых элементов, в некоммутативном случае не существует наибольшего, главного порядка, содержащего все остальные. При подходящих предположениях относительно поля Ё появляются различные максимальные 91-порядки, так что каждый 9?-порядок, а также каждый целый элемент содержатся по
§ 136]
ЦЕЛЫЕ ЭЛЕМЕНТЫ В ПОЛЕ
491
крайней мере в одном максимальном 9(-порядке. По поводу теории идеалов в таких максимальных 9?-порядках см. Д о й р и н г (Deuring М.). Algebren. — Ergebn. Math., 1935, 4, Heft 1.
Во всех SU-порядках поля 2, в соответствии с доказанным выше, выполняется теорема о цепях делителей. Поэтому для таких порядков выполнены теоремы о существовании и единственности разложения на простые множители из §§ 118 и 119 (представление всех идеалов в виде пересечения примарных идеалов).
Согласно § 122 значительное упрощение теории идеалов оказывается возможным тогда, когда каждый отличный от нуля простой идеал SR-порядка о не имеет делителей. Следующая теорема устанавливает условия, при которых имеет место этот случай:
Если в кольце SR каждый простой идеал, отличный от нуля, не имеет делителей, то и в каждом SR-порядке с каждый ненулевой идеал не имеет делителей.
Доказательство. Пусть р — произвольный простой идеал из с, содержащий отличный от нуля элемент t. Элемент t удовлетворяет некоторому уравнению с коэффициентами из SR:
th -f- axth ~1 -f-...-j-a* = 0,
которое мы будем считать выбранным наименьшей возможной степени и со старшим коэффициентом 1; в этом уравнении ah ^0, так как иначе можно было бы сократить на t. Следовательно, ?ft = 0 (/) =0 (р), а потому ah принадлежит пересечению pf]^-Это пересечение является простым идеалом в 3R, потому что если произведение каких-нибудь двух элементов из 3R принадлежит SR П Р. а потому и р, то один из сомножителей должен принадлежать р, а потому и 3R Г) Р- Так как ah принадлежит простому идеалу 3R П р, этот простой идеал отличен от нулевого, а потому не имеет делителей.
Если теперь а — произвольный собственный делитель идеала р и м - некоторый элемент из а, не принадлежащий р, то и удовлетворяет уравнению вида
и1 + Ьхи1~х + ... + &/ = 0,
а потому и сравнению с наименьшей возможной степенью
uk + c1ui~1 + ... + с* = 0(р),
в котором вновь ck^ 0 (р), так как иначе возможно было бы сокращение на и. Следовательно, ck = 0 (и) == 0 (а), а потому элемент Си принадлежит пересечению а f] SR и не принадлежит пересечению pf]SR. Таким образом, это пересечение af|SR является собственным делителем идеала pf)SR и по этой причине совпадает с 2R. Следовательно, идеал а содержит единичный элемент, так что а = о. Теорема доказана. .
492
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ XVII
Предположения этой теоремы выполнены, в частности, тогда, когда Ш является кольцом главных идеалов (кольцом целых чисел, кольцом многочленов от одной переменной). Таким образом, в этом случае в о выполнена теорема о том, что каждый идеал, отличный от нуля и единичного идеала, однозначно представляется в виде произведения взаимно простых и отличных от о примарных идеалов.
Однако, как мы увидим, для главного порядка @ выполняется нечто большее: примарные идеалы равны степеням простых идеалов, а потому в этом случае каждый идеал равен произведению степеней простых идеалов. Ввиду значительности этого главного результата «классической» дедекиндовой теории идеалов для теории числовых и функциональных полей мы докажем его, не используя понятия примарного идеала и общей теории идеалов. Это будет сделано в следующем параграфе с помощью метода, предложенного К рул л ем1).
Задача 1. Если 91—кольцо главных идеалов, (Шх и„) —всегда существующий в этом случае линейно независимый базис ЗГпорядка о и ...
— сопряженные базисы в некотором расширении Галуа поля Р, то «дискриминант поля»
4°
чп>
является целым, рациональным и отличным от нуля.
Задача 2. Пусть Ъ=Р(У1) и 31 — кольцо, целозамкнутое в Р. Доказать, что те и только те элементы % = а-\-Ь Уд являются целыми над 9Ї, у которых следы и нормы
3&) = 1 + 1'^(а + ьУІ) + {а-ЬУІ)=>2а,
N (|) = | • I' = (а + Ь VI) (а-Ь VI) = а2 -ЬЧ
