Алгебра - Варден Б.Л.
Скачать (прямая ссылка):
принадлежат кольцу Зі.
Задача 3. Если в задаче 2 9Ї = К [х] — кольцо многочленов от одной переменной и й — некоторый многочлен, не имеющий кратных множителей, то ^•=а-\-ЬУ й является целым элементом тогда и только тогда, когда а и Ь принадлежат Зі.
Задача 4. Если в задаче 2 3! = Ж— кольцо целых чисел и сі —некоторое число, свободное от квадратов2), то один из базисов главного порядка в случае йф 1 (4) состоит из чисел 1, Уд , а в случае д = 1 (4) — из чисел 1, ^ ^ .
Krull W. Zur Theorie der allgemeinen Zahlringe.—Math. Ann., 1928, 99, S. 51—70.
2) То есть не делится на квадрат простого числа. —Прим. ред.
§ 137]
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ
493
§ 137. Аксиоматическое обоснование классической теории идеалов
Пусть о — произвольное целостное кольцо (коммутативное кольцо без делителей нуля), в котором выполнены следующие три аксиомы:
I. Теорема о цепях делителей для идеалов.
II. Все отличные от нуля простые идеалы не имеют делителей.
III. Кольцо о целозамкнуто в своем поле частных 2.
Примерами таких колец могут служить: 1) кольца главных
идеалов; 2) главные порядки, которые получаются при конечных расширениях поля частных по схеме из § 136 из колец главных идеалов (в частности, главные порядки в числовых полях и полях функций от одной переменной).
Элементы поля 2, являющиеся целыми над о, а потому, согласно III, принадлежащие кольцу о, будут называться просто целыми. В частности, единичный элемент из Б является целым, так что о —целостное кольцо с единицей.
Наряду с идеалами из о (или р-модулями внутри о) мы будем рассматривать и о-модули внутри 2, т. е. подмножества поля 2, которые вместе с а и Ь содержат также а — Ь, а вместе с а — элементы га, где г —любое целое число. Если такой о-модуль а обладает конечным базисом, то а называют дробным идеалом. Если о-модуль а состоит только из целых элементов (л е о), то он является идеалом в обычном смысле или, как мы будем теперь говорить, целым идеалом.
Под суммой или наибольшим общим делителем, (а, Ь) двух о-модулей а и Ь мы подразумеваем (как и в случае идеалов) модуль всевозможных сумм а-\-Ь, где а е а, равным образом под
произведением аЬ подразумевается модуль, порожденный всевозможными произведениями аЬ ИЛИ совокупностью всех сумм 2
Суммы и произведения о-модулей с конечными базисами снова являются о-модулями с конечными базисами.
В последующих теоремах мы обозначаем готическими буквами лишь ненулевые целые идеалы в кольце о, а буквой р — с индексами или без — постоянно обозначается какой-нибудь ненулевой простой идеал.•
Лемма 1. Для каждого идеала а существует произведение простых идеалов \у, делящих а, кратное идеалу а:
М>2 • • • IV = 0 (а).
Доказательство. Если идеал а простой, то лемма верна. Если же а не является простым, то существует произведение двух главных идеалов Ьс такое, что
Ьс = 0 (а), Ье?0(л), се?0(п).
494
ЦЕЛЫЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТЫ
[ГЛ XVII
Идеалы Ь' = (6, а), с' = (с, а) являются собственными делителями идеала а и
Ь'с' = (Ь, а)-(с, а) = (Ьс, Ьа, ас, a2)s=0(a).
Если считать данную лемму выполненной для идеалов Ь' и с', ТО существуют некоторое произведение Vi • • • Ь = О (Ь') и некоторое произведение р4+1... рл = 0 (с')- В этом случае произведение W. .pjps+i.. .р, делится на Ь'-с', а потому и на а, и лемма оказывается выполненной для а. Но если бы лемма была неверна для идеала а, то она была бы неверна и для одного из делителей Ь' или с'; этот делитель в свою очередь обладал бы делителем (собственным), для которого данная лемма не выполнена, и т. д. Таким способом мы получили бы бесконечную цепь собственных делителей, что, согласно аксиоме I, невозможно. Следовательно, лемма верна для каждого идеала а.
Лемма 2. Если идеал р простой, то из аЬ=0(р) следует, что а = 0(р) или Ь = 0(р).
Доказательство. Если а0 (р) и b0(р), то существуют такой элемент а из а и такой элемент b из Ь, что оба они не принадлежат р. Но их произведение ab, находясь в ab, должно было бы принадлежать р, а это противоречит тому, что идеал р прост.
Символом р-1 мы будем обозначать совокупность (целых или дробных) элементов а, для которых ар —целый идеал. Очевидно, р-1 — некоторый о-модуль.
Лемма 3. Если р=/=о, то в р-1 существует нецелый элемент.
Доказательство. Пусть с — произвольный отличный от нуля элемент из р. Согласно лемме 1 существует произведение простых идеалов со свойством:
pjp2.. .р, = 0 (с).
Мы можем предположить, что это произведение несократимо, т. е. его нельзя заменить никаким частичным произведением типа р2... .. .рг = 0 (с). Так как произведение р,р2...р, делится на р, то один из его сомножителей, скажем, plt должен делиться на р, а потому совпадает с р.
Тем самым
рр2...р, = 0(с), р2...рг=/=0(с).
Следовательно, существует не принадлежащий идеалу (с) элемент b из произведения р2...рг. Для него справедливы соотношения
p? = 0(pp2...pr) = 0(c).
Следовательно, идеал рb/с целый, а потому b/с принадлежит идеалу р-1. Но так как ЬщёО (с), то элемент b/с не является целым, что и требовалось доказать.
§ 137]
АКСИОМАТИЧЕСКОЕ ОБОСНОВАНИЕ
