Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

согласованный процесс х(^со) ^-измерим. Выберем е>0 и
построим (вообще говоря, трансфинитную) последовательность
м. о.:

х\ = Ы : | х (0, со) — х (*, со) | > е}
(считаем тт 0 = + оо). Если х\ < со , полагаем

х\=Ы У>х* :| х (х\,®) — ху, со)|>8>,

если т^=4-оо, то и т|=4-оо и т. д. Легко проверить, что
х\ — м. о. Положим л:Е(г')==л:(тр при ^б£т|, т| ,|[ (^ = 0). Этот
процесс ^-измерим:

((со, 0 (<)<«}= и К, т|+1£П{со:х(^)<а}Х^+.

Так как хЦ, со) непрерывен справа, то он прогрессивно измерим
и х(х, со) будет ^-измеримо для м. о. т. Если обозначить т* =
= т| при л:(т|)<а, т*=4-оо в противном случае, то поскольку
{со:х(т|)<а}£У Е, то т*—момент остановки, и ((со; ^):л:Е(^)<а} =

= и Л/г/, т| ^б^. Значит, хЕ (/, со) "^-измеримо. По построению

|хе(^со)—л:(/, со)|^е. Как предел ^-измеримых процессов
будет ^-измеримым и процесс х^, со).

2) Обозначим через ^ о-алгебру, порождаемую интервалами
ЦА, оо|[, Очевидно ШхаШ. Заметим, что для м. о. т

{х > Поэтому

['{Т>ф -Ее^, |[т, П [(|) , оо£6^.,

\т>й-/

откуда Гс?,. □

Через обозначается а-алгебра, порожденная стохастиче-
скими интервалами £ть т2[, где т<— п. м. о. Это а-алгебра
предсказуемых множеств.

Теорема 4. 1) порождается и стохастическими интервала
ми ]ть т2] = {(со; (со)< ^ <т2 (со)}, тг,, т2 —м. о.

2) 9> порождается непрерывными слева согласованными
числовыми процессами.

3) 3> порождается непрерывными согласованными числовы-
ми процессами.

Доказательство. 1) Пусть х — м. о. Тогда при 5>0
т + 5 также м. о. Поэтому это п. м. о.: т-(-х = Нт^4-х —

Значит, [0, т + з[е$\ [0, х} = П [0, х + { 1<&. 1т„ т2]1 =

п п

= £0, т2][\][0, т,]б^- С другой стороны, если т —п. м, о.,
т„<т при т>0 и т„->т, то |0, т£= у [0, т„].

п

2) Если ^! — а-алгебра, порожденная непрерывными слева
согласованными процессами, то из ^-измеримости ^]Т1>Т2| и непре-
рывности слева этого процесса вытекает, что {Рс'&\. Покажем,
что непрерывный слева согласованный числовой процесс х (^, со)

^-измерим. Положим хп(1, а)=х(^-, со) при -^<у< к^ ,

хп(0, ы) = х(0,а). Так как х^, со) = Нт хпу, со), то ^-измери-
мость х^, со) вытекает из ^-измеримости процесса хп(£, со), а
последняя из соотношения

{(со, <->)<а}= и 1(Я

поскольку ^) —м. о., то по доказанному стохасти-

{х(^,со)<а}

ческие интервалы справа входят в &.

3) вытекает из 1) и соотношения: если т — м. о., то

30, т! = {(Асо):ехр^(^-т)}=1}. □
3.4. Вполне измеримые и предсказуемые процессы. Случай-
ный процесс л:(/, со), заданный на /?+, принимающий значения
в измеримом пространстве (Х,38), согласованный с потоком
{ЗГ^, называется вполне измеримым, если он ^-измерим, и
предсказуемым, емли он ^-измерим. В дальнейшем будем рас-
сматривать только счетнопорожденные ст-алгебры Я.

а) Неразличимость. Будем говорить, что два процесса
хх у, со) и х2(/, со) неразличимы, если для почти всех со
#1 (/, со) =х2 (£, со) для всех /. Если Лсг<ЗХ#+, будем обозначать
л (А) проекцию А на 0:собл(Л), если {со}ХЛ+Гй непусто,
{со} — одноточечное множество. В теории меры доказывается,
что для полной меры Р л(Л)бЗг, если А^2Г®$К+. Используя
этот факт, можно показать, что *1(£, со) и х2(^,со) неразличимы,
если

Р(л({(со; /) : Х1(Ъ со)^л:2(/, со)}))=0.

Теорема 5. Пусть хх^, со) и лг2(/,со)—два 3^-измеримых
(соответственно, ^"-измеримых) процесса. Если для всякого м. о.
т (соответственно п. м. о. т) хх (т, со) =х2(х, со) почти всюду на
множестве {т<;°°}, то Х\ {Ь, со) и х2(/, со) неразличимы.

Доказательство этого утверждения опирается на следу-
ющее утверждение.

Лемма. Если А^Ж (соответственно 53) и Р(п(Л))>0, то
для всякого е>0 найдется такой м. о. т (п. м. о. т), что
Р{(со;т(со))бЛ}>Р(п(Л))-е.

Доказательство. Рассмотрим случай А^Ж. Обозначим
через Ж класс множеств В&Ж, для которых множество {^ : (со;
1)£В}, В^, содержит свою нижнюю грань, она обозначается

deb В и является моментом остановки. Далее через Ж обозна-
чим совокупность множеств для которых для всякого е>0
найдется такое множество ВгбЖ, что BeczA и Р(п(Л))<
<Р (п(Ле))+е. Можно убедиться, что Ж — монотонный класс,
а так как Ж содержит алгебру, порожденную стохастическими
интервалами, то Ж=-Ж. Если для А<?Ж BeczA, В£Ж и
Р(я(Л)) <P(jt(ßs))+e, то deb Вь будет нужный м. о. □

Доказательство теоремы. Если Р(я({(со; t) :
: Х\ (t, со) ^=x2(t, со)})) >0, то найдется м. о. т (п. м. о. т) такой,
что Р((со;т)е{(со;0 :xi(/,co)^x2(^co)})>0, т. е. Р{хх (т, со) Ф
Фх2(х, со)}>0, что противоречит предположению. □