Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.
Скачать (прямая ссылка):
М 5 ё(х(6, <о)М<*9)=5 м£(х(9, со)) v(dQ). (1)
Все эти утверждения являются следствием теоремы Фубини.
2.1. Условие существования измеримой модификации. Бу-
дем предполагать, что а-алгебры 38 в X и ^ в 0 счетно по-
рождены. Пусть х(8, со)—некоторая случайная функция. Бу-
дем называть ее счетно порожденной, если пространство слу-
чайных величин вида ц=g{x {%,«>)), 960, д(х)—^-измеримая
функция из X в [О, 1], с метрикой
г(тц.Ла) =ЛЛ | гц—т]3| (2)
сепарабельно.
Измеримое пространство (X, 33) называется борелевским,
если оно сепарабельное, метрическое, является борелевским
подмножеством своего пополнения, и 33 — его борелевская а-
алгебра.
Теорема 1. Для того чтобы для случайной функции
х(8, со) существовала измеримая модификация, необходимо, а
в случае борелевского (X, 33) и достаточно выполнения следу-
ющих условий: 1) случайная функция л:(8, со) счетно порожде-
на, 2) каковы бы ни были В\, В2&33 и 8,860, числовая функция
Р {х (9, аОеДь х (8, со)б£2} = М/В1 (х (В, со)) 1В, (х (0, со)) (3)
^-измерима по 8.
Доказательство. Необходимость условия 2) вытекает
из теоремы Фубини и измеримости функции 1в, (х(В, со)). Что-
бы доказать необходимость условия 1), достаточно проверить,
что для измеримой функции х(В, со) будет счетно порожденной
функция 1в(х(В, со)), каково бы ни было В^$. Так как
{(8, со) : х(0, со)бЛ}е<<р<8>,^, то можно указать такие последова-
тельности множеств Ск&Ф, Ак££Г, что это множество принадле-
жит о-алгебре, порожденной прямоугольниками СьХ^ь
Тогда множество случайных величин {I лк(а)} имеет замыкание
в метрике г, содержащее все величины {/в(х(8, со)), 060}, что
означает счетно порожденность /в(х(8, со)).
Достаточность. Борелевское пространство можно вза-
имно однозначно отобразить борелевской функцией в [0,1].
Поэтому можно считать, что л:(8, со) принимает значения из
[0, 1] (с ст-алгеброй 3310,1} борелевских множеств). Пусть Я—
замыкание в Ь2(£2, Р) линейной оболочки величин 1В((8, со)),
5б^[0>1]. Это сепарабельное гильбертово пространство.
х(8, со) — измеримая функция со значениями в Я. Для такой
функции существует последовательность простых Я-значных
функций
хп (8, со) = 2 1пи (со) 1спк (8), Сп£%
к
таких, что хп(В, со) при всех 0 сходится к х(В, со) в Я, т. е.
М|х„(9, со)— х(В, со) |2-+0.
Функция Ап(8) = М[л:п(6, со)—л:(0, со) |2 измерима.
Определим измеримые функции
гет(8)=т^:^(10)<2-т},
Хт(д, СО) = ЛГ„тв(0, с0) = 22^*И/сл*(9)/{пт(е)="}-
п к
Так как М|л:т(в, со) — х(е, со)|2<2~т, то для всех в и е>0
2P{l*«(e, <»)-JC(G, co)|>e}<2e22-m< оэ, (3)
поэтому xm(Q, со) — x(0, co)-^0 с вероятностью 1. Полагая
x* (0, со) = lim хт (9, со), если предел существует, и л:*(9, со) = 0
в остальных случаях, получим нужную модификацию. □
2.2. Интегрирование в среднем квадратическом. Пусть в —
компактное метрическое пространство, т — конечная мера
на W. Предположим далее, что случайная функция х(9, со),
определенная на в, принимает значения из R, и для всех 960
М|х(9, со) |2<оо. Обозначим а(9) =Млг(9, со), #(9Ь92) =
= Мх(9ь со)х(92, со)—a(Gi)a(92), это среднее значение и кор-
реляционная функция для случайной функции х(9, со). Нас
будут интересовать условия, при которых существует средне-
квадратический предел таких римановых интегральных сумм
п
где С,' ,Cr и Сг = 0, ®keCk, С&% предел берется при
maxdiam Cft->0 и должен не зависеть от выбора точек 9* и мно-
*
жеств С д.. Если такой предел существует, то его естественно
называть среднеквадратическим римановым интегралом случайной
функции х (6, со) по мере т (dQ). Этот интеграл будем также
обозначать j х (9, со) т (dQ) (как и обычный интеграл). Заметим,
и
что интегральные суммы вида (4) для различных модифика-
ций совпадают с вероятностью 1, поэтому значения интеграла
также совпадают на различных модификациях с вероят-
ностью 1. Ниже будет показано, что для измеримой модифи-
кации интеграл по Риману в среднем квадратическом совпа-
дает с обычным.
Теорема 2. Для того чтобы случайная функция была
среднеквадратически интегрируема по Риману, необходимо и
достаточно, чтобы были интегрируемы по Риману функции
а(9) по мере m(dQ) и i?(9i,62) по мере m(dQl)m(dQ2).
Доказательство этой теоремы вытекает из того, что для
среднеквадр этической сходимости последовательности Sn
необходимо и достаточно существования пределов
lim М5„, lim MSnSm,
П~*-00
т-юо
MSn есть интегральная сумма Римана для а(9) по мере
m(dQ), а MSnSm — интегральная сумма Римана для функции
fl(9b92)+a(9i)a(92) по мере m(d9i)m(d92). □
