Вероятность: основные понятия, структура, методы. - Скороход A.B.

Совокупность таких а-алгебр будем называть потоком
о-алгебр. В дальнейшем поток а-алгебр будет считаться фик-
сированным и будут рассматриваться процессы хЦ, со), для
которых величина хЦ, со) при 'каждом фиксированном t яв-

(7)

ПО

ляется ^-измеримой. Такие процессы называются согласо-
ванными с потоком {Уt}.

3.1. Моменты остановки. Случайную величину т, принима-
ющую неотрицательные значения, включая +°°, будем назы-
вать моментом остановки (м. о.), если {т^}б^"( лля всех

t£R+, где 5r+o0 = V5r<- С м. о. т свяжем о-алгебру ЗГХ событий
t

А^Утаких, что Af\{T^.t}£Sf~t для всех t£R+. Оказывается, что
в определенном смысле свойства а-алгебр &~t сохраняются,
если вместо t рассматривать моменты остановки. Установим
некотор ые свойств а.

Теорема 1. 1) Если хи т2 —м. о., то х,\/х2, хх/\х2 также
м. о. 2) Если ti<T2, ть т2 —м. о., то УТ|сУт,. 3) Если хп \ х
и хп — м. о., то т м. о. и П^Тд- 4) Если t„—-м. о. и хп | т,

то t — м. о. Если т„<т, то \/Ух =^"т_, где Ух- — о-алгебра,

порожденная событиями A(f\{t>t}, t£R+, A0Pt.

Доказательство. 1) Очевидно. 2) Если A&yXt, то
Af]{x2<t}^Ar\{xi<t}f]{^2<t}eyt, так как А П{т, < t2 —

м. о. 3) {t<s}= U{tn<s}6#V {t<s}= П \x<s+~}ey i •

Поэтому {т<5}бП5г i =5rJ+=5rs. Так как т<т„, то Ухс

cn?v Пусть Л6П5%. Тогда Л П{тя Л Л

= Лп(и{тя<*}) = 1МП{тя<*}€^, т.е. Л П {t

Лб^Ч- 4) (т<г!}= Г) {*л Пусть А^Ухп- Тогда для всех от

Л = U А П {т„ < Л / да}. Значит,

(поскольку t„<T, то UUJt>^-}njtn<|J=QJ. Так как
{т„<4-}пЛе^+1/т, то

{•>т1«(|'.<^|п"К-

Мы показали, что \J Ух с Ух— Пусть теперь А^УХ— Рассмотрим

п п

множество Л вида At П {t > t). Тогда

л= у n{t„>* + 4-}nA.

Заметим, что множество |т„ > / + -^-| П А£У%п, так как
{f„>< +-^-}n^n{t„<s} пусто при 5<^ + х и равно Л,П
П {^ + 4" <ти<5}б^ при s > ^ 4-Значит> Для всех *

* п У к > п п п п

М. о. % называется предсказуемым моментом остановки
(п. м. о.), если существует такая последовательность м. о. т„,
что Р{тп<т}=1 и Тп^-т. М. о. t, называется вполне непредска-
зуемым, если для всякого п. м. о. т будет Р{т=У = 0.

3.2. Прогрессивная измеримость. Это понятие связывает
измеримость и согласованность. Процесс x(t, со) со значениями
в измеримом фазовом пространстве (X J?) называется
прогрессивно измеримым, если для всех t£R+ функция
x(s,(o) на [0,^]Х^ измерима отнсительно Яхо,п®ЗГг, где
$w,t] — сг-алгебра борелевских множеств на [0,/]. Важным
следствием прогрессивной измеримости является следующее
свойство: для всякого м. о. т для прогрессивно измеримого
процесса x(t,(o) величина х(х, со) является ^-измеримой. Дей-
ствительно, для всех t£R+{x (т, со) еБ}П{т^} принадлежит STtB
силу измеримости суперпозиции измеримых функций и
.^[0,/]®^-измеримости x(s,(o) при s^/.

Достаточные условия прогрессивной измеримости дает
Теорема 2. Непрерывный справа (слева) согласованный

процесс в топологическом фазовом пространстве прогрессивно

измерим.

Доказательство. Зафиксируем t. Нам нужно доказать
^[о,<]®^"гизмеРимость процесса x(s, со), s£[0, t\. Очевидно, что
процесс вида хп(s, co) = jcn,k(со) при ^"|~<s<--^—^ и непре-
рывный справа или слева, будет $3\a,t}® ^-измеримым, если
^-измеримы величины хп,и(а). Выбирая хп,и (со) = л t, со), если

x(s, со) непрерывен слева, x„,k(a) = x{^—- t, со), если x(s, со)

непрерывен справа, получим последовательность ^(o,i<]®#VH3Me_
римых процессов, сходящихся к х (s, со). □

3.3. Вполне измеримая и предсказуемая ст-алгебры. Пусть
Ti и т2 — м. о. Множество

{(/, со): хх (со) < t < т2 (со)}б^я+ ®

называется стохастическим интервалом и обозначается [ть т2£.
Аналогично определяются стохастические интервалы jTl5 t2J,

Т2[, [[?!, т2]],

Определение, о-алгебра W в Л?+Х^, порожденная сто-
хастическими интервалами \хх, т2|[ называется ст-алгеброй
вполне измеримых множеств.

Теорема 3. 1) ст-алгебра W — наименьшая ст-алгебра, от-
носительно которой измеримы все согласованные непрерывные
справа числовые процессы. 2) о-алгебра Ж порождается ин-
тервалами вида [tAl, со [где tGR+, A£3Tt, tA—t, собЛ, ^а =+0°,
собЛ (это м. о.).

Доказательство. 1) Обозначим через Ш0 а-алгебру,
относительно которой измеримы все согласованные непрерывные
справа процессы. Процесс х^ является таким и значит Ж0-

измерим, £ть г21^Ж0, Жс:Ж0. Покажем, что непрерывный справа