Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Опираясь на эту аксиому, мы можем утверждать, что для каждого многоугольника F существует единственный прямоугольник T1 равносоставленный с ним и имеющий сторону, равную заданному отрезку а.
Теорема 6. Произведения смежных сторон двух рав-носоставленных прямоугольников равны между собой.
Действительно, пусть а и b — смежные стороны прямоугольника F1, а с и d — смежные стороны равносоставлен-ного с ним прямоугольника F2. Если ab > Cd1 то найдется такое br < 6, что ab' = cd. Тогда прямоугольник F3 со сторонами а и Ь' равносоставлен с прямоугольником F2, а значит, и с прямоугольником F1, что противоречит аксиоме де-Цольта.
Таким образом, все прямоугольники, равносоставлен-ные с данным многоугольником F1 имеют одно и то же произведение смежных сторон. С каждым многоугольником при выбранной единице измерения отрезков оказывается связанным определенное положительное действительное число, равное произведению длин смежных сторон равносо-ставленного с ним прямоугольника. Это число мы назовем временно характеристикой данного многоугольника.
§ 59. Измерение площадей многоугольников
Мы допускаем, что каждому многоугольнику можно по-ставить в соответствие положительное действительное число, так что выполняются следующие условия:
1) равным многоугольникам соответствуют равные числа;
2) если многоугольник F представляет соединение двух многоугольников F1 и F2, то ему соответствует число, равное сумме чисел, соответствующих многоугольникам F1 и F2;
192
3) квадрату, сторона которого является единицей длины, соответствует число один (единичный квадрат).
Число, соответствующее при этих условиях многоугольнику F1 называется его площадью (пл. F).
Покажем, что введенная в конце § 58 характеристика многоугольника отвечает всем трем условиям.
1. Равные многоугольники равносоставлены с одним и тем же прямоугольником. Значит, их характеристики равны.
2. Пусть многоугольник F является соединением многоугольников F1r F2. Пусть k, U1 и k2 — их характеристики. Возьмем некоторый отрезок а. Многоугольникам F1 и F2 соответствуют равносоставленные с ними прямоугольники T1 и T21 имеющие отрезок а в качестве одной из своих сторон. Вторые их стороны O1 и Ъ2 определяются равенствами:
Соединяя прямоугольники T1 и T21 получим прямоугольник T ~ T1 + T2. Очевидно, что прямоугольник T равносоставлен с многоугольником F, стороны его будут а и b = bi + &2. Следовательно, характеристика многоугольника F будет:
Если многоугольника является соединением многоугольников Fi и Fz1 то его характеристика равна сумме характеристик этих многоугольников.
3. Очевидно, что характеристика единичного квадрата равна единице.
В силу сказанного выше характеристика многоугольника является его площадью.
Каков же геометрический смысл площади многоугольника? Пусть пл. F = k. Возьмем прямоугольник T со сторонами 1 и k (k — рациональное число). Так как произведение смежных сторон этого прямоугольника равно H1 т. е. характеристике F1 то он равносоставлен с многоугольником/7. Число k нам показывает, сколько надо взять единичных квадратов (целая часть k) и какую, кроме того, долю единичного квадрата (дробная часть k), чтобы из них путем разрезания на куски и перекладывания этих кусков мы могли получить данный многоугольник F. Если, например, пло-
2
щадь многоугольника равна 2-о-, то для получения его
193
указанным способом потребуется два единичных квадрата и
2/2
прямоугольник со сторонами 1 и у ( у единичного квадрата).
К трем основным условиям добавим следующие очевидные следствия из них.
4. Если многоугольник F представляет соединение многоугольников F1, F2, Fk, то
пл. F = пл. F1 + ... + пл. Fk.
5. Если многоугольник F представляет правильную часть многоугольника Ф, то пл. F < пл. Ф.
6. Равносоставленные многоугольники имеют равные площади.
Докажем теперь, что при определенной единице длины можно установить систему измерения площадей многоугольников только одним способом. Мы должны, следовательно, доказать, что если каким-либо образом мы поставим в соответствие каждому многоугольнику положительное действительное число так, что выполняются условия 1—3, то эти числа являются характеристиками соответствующих многоугольников.
Нам, очевидно, достаточно для этого доказать, что площадью прямоугольника может быть только произведение его сторон.
Черт 172
Отсюда уже вытекает, что площадью любого многоугольника может являться только его характеристика.
Рассмотрим сначала прямоугольник T со сторонами 1 и с.
а) с — целое число (черт. 172). Такой прямоугольник легко разложить на с единичных квадратов. Площадь каждого из них равна 1 (условия 1 и 3). По свойству 4 имеем:
пл. T = 1 + 1 + ... + 1 = с;
б) с — рациональное число. Пусть с = ~, где т и п — натуральные числа (черт. 173).
194
Разобьем единичный квадрат на п равных прямоугольников прямыми, параллельными одной из его сторон. Так
как с = ~, то прямоугольник T мы можем разложить на т
таких же равных между собой прямоугольников. Пусть х — площадь каждого из этих прямоугольников. Тогда по свойству 4 площадь единичного квадрата равна пх, а пл. T =
