Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
ГЛАВА VIII
ДЛИНА окружности
§ 54. Деление окружности на равные части
Для дуг одной и той же окружности в школьном курсе устанавливается понятие равенства и неравенства тем же способом, что и для отрезков. Для сравнения дуг мы можем «наложить» одну из них на другую, т. е. совершить движение, при котором одна из дуг отображается в другую или в ее часть. Такими движениями являются или поворот, центр которого совпадает с центром окружности, или отражение от оси, проходящей через центр окружности. Равенство дуг одной и той же окружности обладает всеми свойствами равенства фигур вообще (§8), неравенство этих дуг обладает свойствами неравенства отрезков (§ 8). Дуги одной и той же окружности мы можем складывать и вычитать.
На данной окружности мы можем построить дугу, равную данной. На основе этого можем построить дугу, кратную данной, т. е. представляющую сумму п (п —натуральное число) дуг, каждая из которых равна данной. Мы можем также разделить данную дугу пополам, т. е. построить ее
169
середину. Этим доказывается существование середины дуги. Отсюда следует, далее, существование точек на дуге, делящих ее на 2п равных частей. Однако при помощи рассмотренных в главе II построений мы не можем доказать существование точек на дуге, делящих ее на произвольное число равных частей. Существование этих точек установим ниже. Введем некоторые бозначения. Выражения
^j AB = mkj CD и w CD = — w AB
т
обозначают, что дуга AB некоторой окружности представляет сумму т равных дуг той же окружности, каждая из которых равна дуге CD. Будем в этом случае говорить, что дуга AB является m-кратным дуги CD1 а дуга CD — составляет ~ часть дуги AB. Выражение
w AB= -kj CD п
обозначает, что дуга AB представляет m-кратное дуги CD. Ту же дугу AB мы получим, если возьмем часть от т w CD1 т. е. возьмем га-кратное дуги CD и от него возьмем -і- часть. Для дуг, как и для отрезков, справедливы равенства (§ 29):
га w AB + п w AB = (га + п) w AB, m(n\j AB) = {tun) \j AB,
k (™^ab)=-^^ab.
\n j n
n \ Jn
Теорема 1. Каковы бы ни были две дуги одной и той же окружности, всегда найдется такое кратное меньшей дуги, которое превосходит большую (предложение Архимеда для дуг).
Доказательство. Пусть w AB и w CD — данные дуги, причем \j AB не превосходит полуокружность и w CD < \j АВ. Допустим, что /2-кратное дуги CD не превосходит дугу AB при любом п. Тогда на дуге AB существо
вуют точки A11 A21 ...,An (в направлении от точки А к точке В) такие, что (черт. 154)
w AA1 = w A1A2 = ... = An-г An = w CD,
причем
w ЛЛ/г < w AB. Пусть C1, C2, Cn — проекции точек A11 A21 An на хорду AB. Равные хорды AA11 A1A21 An^1An неодинаково наклонены к хорде AB. Поэтому отрезки ЛC1, C1C21... не равны между собой. Очевидно, что наименьшим из них является отрезок Л C1 (доказательство этого предложения предоставляем читателю). Отсюда следует, что
п- AC1 < ACn,
а поэтому и подавно
п . AC1 < AB
при любом u1 что противоречит аксиоме Архимеда.
Полученное противоречие показывает ошибочность сделанного допущения, и этим устанавливается справедливость теоремы для рассмотренного случая.
Случай, когда \jAB превосходит полуокружность, легко сводится к рассмотренному.
Так как существуют точки, делящие любую дугу на 2п равных частей, то из доказанной теоремы мы можем вывести такое следствие.
Следствие. Какова бы ни была ^ CD1 меньшая
AB1 всегда найдется такое натуральное число т, для
которого w CD будет больше части ^ AB.
Пусть ^n часть kj AB есть AA1. Если w CD < AA1
при любом т, то г^-кратное дуги CD меньше дуги AB. Так как 2т при достаточно большом т больше любого натурального числа п, то отсюда следует, что /г-кратное
Черт. 154
171
дуги CD меньше дуги AB при любом п. Полученное противоречие с доказанной теоремой показывает справедливость высказанного следствия.
Установим теперь для последовательности дуг одной окружности предложение, аналогичное аксиоме Кантора (§33).
Теорема 2. Пусть имеется последовательность дуг A0B0, A1B1, A2 B2, принадлежащих одной окружности и удовлетворяющих условиям:
1) данная последовательность бесконечна',
2) все точки любой дуги AkBk принадлежат предыдущей дуге Ak^1 Bk-X данной последовательности',
3) не существует дуги, общей для всех дуг данной последовательности.
Тогда существует единственная точка, принадлежащая всем дугам данной последовательности.
Доказательство. Не нарушая общности доказательства, мы можем считать, что \j A0B0 меньше полуокружности. Каждой точке M дуги A0B0 поставим в соответствие
Черт. 155 Черт. 156
ту точку хорды A0B0, которая лежит на луче OM1 исходящем из центра окружности (черт. 155). Этим мы установим взаимно однозначное соответствие между точками дуги A0B0 и хорды A0B0.
Данной бесконечной последовательности дуг на хорде соответствует бесконечная последовательность вложенных отрезков
^о^о» A j? j, А 2В 2, ...
Не существует отрезка P' Q', общего для всех отрезков этой последовательности. Действительно, если бы таковой
