Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Теорема. Всякое движение в пространстве является винтовым движением.
Рассмотрим еще раз движения, при которых некоторая плоскость отображается сама в себя:
1. При переносе каждая плоскость, параллельная вектору переноса, отображается сама в себя. На этой плоскости мы будем иметь перенос с тем же вектором.
211
2. При повороте инвариантной плоскостью является плоскость, перпендикулярная оси поворота. На этой плоскости мы будем иметь поворот вокруг точки пересечения ее с осью поворота.
3. При повороте на развернутый угол около оси t (т. е. при отражении от прямой t) инвариантной остается также любая плоскость, проходящая через эту ось. В этой плоскости мы будем иметь отражение от прямой t.
4. При винтовом движении с углом поворота, равным развернутому углу, инвариантной плоскостью является любая плоскость, проходящая через ось поворота t. В этой плоскости мы будем иметь скользящее отражение с осью t.
§ 66. Отражение от точки в пространстве
Точки M и M' мы назовем симметричными относительно точки О, если последняя является серединой отрезка MM'. Преобразование, при котором любая точка преобразуется в симметричную ей точку относительно определенной точки О, называется отражением отэтой точки.
Рассмотрим преобразование, представляющее произведение отражения от прямой (т. е. поворот около прямой на развернутый угол) на отражение от плоскости, перпендикулярной этой прямой. Докажем, что это преобразование является отражением от точки, в которой пересекается данная плоскость с данной прямой.
Обозначим: / — отражение от прямой t,
s — отражение от плоскости а. По условию а X t. Пусть M - произвольная точка (черт. 189). При отражении от прямой t она отображается в точку TW1, расположенную с точкой M в некоторой плоскости а, проходящей через прямую t. При отражении от а точка M1 отображается в точку M'. Так как t j_ а, то а X а и поэтому M' лежит в плоскости а. Соединим точку О, в которой пересекаются прямая t и плоскость а, с точками M и M'. Из свойств отражений / и s вытекает, что О — середина отрезка MM' (OM' = OM1 = = ОМ; ^ MOA = ^ M1OA; ^M1OB = ^ М'ОВ;
^ AOM1 + M1OB = 90°; ^ MOA + ^ M1OA + + ^ M1OB + ^ М'ОВ = 180°).
212
Итак, при преобразовании sf любая точка M отображается в симметричную ей точку M' относительно точки О. Следовательно, это преобразование является отражением от точки О.
Если мы сначала совершим отражение от плоскости а, а затем отражение от прямой t, то точка M, как легко
видеть, отобразится в ту же точку M' (если M при отражении от а отобразится в M2, то четырехугольник MM1M1M2 является прямоугольником). Отсюда следует, что произведение преобразований / и s перестановочно:
Из свойств отражения от плоскости вытекает, что при отражении от точки отрезок, угол и многоугольник отображаются в равные им фигуры. Однако произвольная фигура, вообще говоря, не отображается в равную ей фигуру.
Если фигура F при отражении от точки О отображается сама в себя, то эта точка называется центром симметрии данной фигуры.
В качестве примера приведем параллелепипед. Центром симметрии его является точка пересечения диагоналей (черт. 190).
Действительно, при отражении от этой точки (точка О) каждая вершина параллелепипеда отображается в противоположную ей вершину. Отсюда следует, что противоположные грани параллелепипеда отображаются друг в друга. Любая внутренняя точка отобразится, очевидно, тоже во внутреннюю точку.
В'
Черт. 189
Черт. 190
Sf = fs.
213
ГЛАВА XI
МНОГОГРАННИКИ
§ 67. Общие свойства многогранников
Уточним понятие о многограннике, известное из школьного курса.
Простой многогранной поверхностью назовем фигуру, представляющую соединение конечного числа простых многоугольников, удовлетворяющих следующим условиям:
1. Любые два многоугольника или не имеют общих точек, или имеют только одну общую точку, которая является их общей вершиной, или множество всех их общих точек представляет отрезок, который является общей стороной этих многоугольников; никаких других общих точек, помимо перечисленных, данные многоугольники не имеют.
2. Если отрезок является общей стороной двух многоугольников, то он не является стороной никакого другого многоугольника.
3. Все многоугольники, имеющие общую вершину, можно перенумеровать так, что любые два из них, номера которых отличаются на единицу, имеют общую сторону, выходящую из общей вершины.
4. Любую точку любого из многоугольников можно соединить с любой точкой любого другого многоугольника ломаной, все точки которой принадлежат данной фигуре.
Черт. 191 Черт. 192
214
Указанные многоугольники, их стороны и вершины называются соответственно гранями, ребрами и вершинами многогранной поверхности. Грани, имеющие общее ребро, назовем смежными.
На чертеже 191 дан пример многогранной поверхности, имеющей шесть граней, и показана ломаная ABCDEKL9 соединяющая точку А грани F2 с точкой L грани F6. На чертежах 192 и 193 даны примеры фигур, не являющихся простыми многогранными поверхностями, так как в одном случае нарушено условие 2 (для отрезка AB в первом примере), а в другом случае — условие 3 (для вершины А во втором примере).
