Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Произвольной точке X окружности поставим в соответствие точку X' отрезка AB таким образом, чтобы при любом п точка X' принадлежала отрезку М\М\ + 11 соответствующему дуге M1M1 + 11 которой принадлежит точка X. Из аксиомы Кантора следует, что такая точка X' существует и притом только одна.
В силу следствия из предложения Архимеда для дуг (§ 54) при достаточно большом п две различные точки окружности X и Y не могут принадлежать одной и той же дуге M1M1 + г. Отсюда следует, что различным точкам окружности соответствуют различные точки на отрезке AB.
Опираясь на теорему 2 из § 54, можно доказать, что любая точка отрезка AB соответствует определенной точке окружности.
Таким образом, мы установили преобразование 9, при котором окружность К отображается в отрезок AB.
Будем говорить также, что окружность К спрямлена в отрезок AB.
Для преобразования 9 существует взаимно обратное преобразование 9 — \ при котором отрезок AB отображается в окружность К. При этом мы должны отметить одно исключение: мы должны считать концы отрезка А и В соответствующими одной точке окружности О.
Можно, далее, показать, что при преобразованиях 9 и 9 —1 равным дугам окружности соответствуют равные отрезки на прямой AB1 и наоборот (доказательство этого предложения опускаем).
Дадим теперь определение длины дуги. Длиной дуги окружности К называется длина отрезка, соответствующего этой дуге при указанном отображении окружности на отрезок AB.
Можно показать, что определенные таким способом длины дуг одной и той же окружности имеют следующие свойства:
1) равные дуги имеют равные длины;
2) если дуга представляет сумму двух дуг, то ее длина равна сумме длин слагаемых дуг. В частности, отсюда сле-
185
дует, что длина окружности равна сумме длин дуг, на которые она разделена.
Как было доказано, длина окружности с = 2izR. Примем радиус за единицу длины. В этом случае длина дуги называется ее радианной мерой. Если радианная мерз, дуги равна а, то длина соответствующего ей отрезка будет тоже а, при условии, что за единицу длины принят радиус окружности. Если теперь возьмем другую единицу длины, при которой длина радиуса равна R1 то по теореме о переходе от одной единицы измерения к другой (§ 32) длина дуги будет aR.
Длина дуги равна произведению радиуса на ее радиан-ную меру:
s = aR.
Длина дуги может быть определена также следующим способом.
Назовем простую ломаную правильной, если все ее стороны равны и вершины принадлежат одной окружности. Правильная ломаная считается вписанной в ту дугу окружности, концы которой совпадают с концами ломаной и которая содержит все вершины ее.
Тем же путем, что и для правильных многоугольников, можно построить бесконечную последовательность длин периметров правильных ломаных, вписанных в дугу окружности и доказать существование предела этой последовательности. Этот предел принимается за длину данной дуги.
Можно показать эквивалентность обоих определений. Это значит, что оба способа определения длины дуги дадут одно и то же число при данной единице измерения.
ГЛАВА IX
ПЛОЩАДИ
§ 58. Равносоставленные многоугольники
Пусть дан многоугольник F. Соединим точки H и Kt принадлежащие контуру его простой ломаной, все точки которой, исключая ее концы, лежат внутри этого многоугольника. В результате мы получим два многоугольника F1 и F21 имеющих общею частью указанную ломаную (черт. 163). Множество точек, принадлежащих многоугольнику F1 представляет соединение множеств точек многоугольников F1 и
186
F2. Поэтому мы скажем, что многоугольник F разложен на многоугольники Fi и F2, и условно запишем это так:
F -F1+F2.
Черт. 163
В свою очередь каждый из многоугольников F1 и F2 можно разложить на два новых Многоугольника и т. д.
Таким путем мы можем получить некоторые многоугольники Q1, Q2, Qk, соединение множеств точек которых даст нам множество точек прямоугольника F. Ясно при этом, что любые два многоугольника Q1 и Qj или не имеют общих точек, или общие точки этих многоугольников принадлежат их контурам. Будем говорить в этом случае, что многоугольник F разложен на многоугольники Q1, Q2, Qk и условно писать:
F -Q1 +Q2 + ... + Q,.
Будем говорить, что многоугольник F представляет соединение многоугольников Q1, Q2, Qk.
Два многоугольника F1 и F2 называются равносостав-MHHbIMu1 если каждый из них можно разложить на одно и то же конечное число многоугольников так, что каждому многоугольнику одного разложения соответствует равный ему многоугольник другого разложения, и обратно.
Из определения следует, что равносоставленность многоугольников обладает свойством симметрии.
Теорема 1. Два многоугольника, равносоставленные с третьим, равносоставлены между собой.
Пусть F1, F2 и F3 — данные многоугольники (черт. 164), причем
F1 равносоставлен с F2
и
F1 равносоставлен с f3.
187
Нам надо доказать, что
F2 равносоставлен с F3. По условию F1 и F2 разлагаются на многоугольники P1, P2, Pk1):
F
Черт 164
F1 ~ P1 + P2 + ... + Pk, P2 ~ Pi + P2 + ... + P,. В то же время P1 и P3 разлагаются на многоугольники Q1,
