Элементарная геометрия - Шоластер Н.Н.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим движение в пространстве, при котором по крайней мере одна из точек отображается сама в себя. Таким движением, в частности, является поворот. Существуют ли движения с неподвижной точкой, отличные от поворота? Оказывается, что таких движений нет.
Теорема. Всякое движение с неподвижной точкой есть поворот относительно оси, проходящей через эту
точку.
Пусть О — неподвижная точка, А и В — две другие точки, не лежащие вместе с точкой О на одной прямой, / — данное движение (черт. 186).
При движении /:
/ (О, А, В) = 0, А', В'.
Как известно (§ 19), движение полностью определено перемещением трех точек, не лежащих на одной прямой. Следовательно, данное перемещением точек А и В. плоскость g1 , проходящая
Черт. 186
движение / определяется Так как OA' = OA1 то
через середину отрезка AA' (точка К) и перпендикулярная к нему, пройдет через точку О. Рассмотрим отраже-
208
ниє S1 от этой плоскости. Точка О отобразится сама в себя, точка Л — в точку Л', а точка В — в некоторую точку ?*. При этом OS* = OB и А'В* = AB1 а так как OB' = OB и А'В' = AB1 то O?* = OB' и А'В* = А'В'.
Пусть L — середина В'В*. Тогда Л'L ± ?'?* и OL _L В'В*. Следовательно, плоскость g2, проходящая через точки О, Л' и L, будет перпендикулярна В*В'
Рассмотрим теперь отражение S2 от плоскости g2. Точки О и Л' отобразятся сами в себя, а точка Б* — в точку S'.
Преобразование S2S1 есть поворот (§ 62) вокруг оси, являющейся линией пересечения плоскостей g1 и g2. Эта ось пройдет через точку O1 так как последняя является общей точкой плоскостей g1 и g2. Поворот S2S1 отображает точки О, А и В в точки О, Л' и ?', при движении / имеем то же самое. Следовательно, / = S2S1.
Следствие. Произведение поворотов, оси которых пересекаются в одной точке, есть поворот относительно оси, проходящей через ту же точку.
§ 65. Движение произвольного вида в пространстве
Мы изучили два вида движения в пространстве: поворот и перенос. Докажем, что произвольное движение в пространстве может быть представлено как произведение переноса на поворот.
Пусть произвольное движение f отображает точки А, В и C1 не лежащие на одной прямой, в точки А', В' и С (черт. 187).
в
В'
Черт. 187
Рассмотрим перенос Д с вектором ЛЛ\ При этом переносе A ABC отобразится в дЛ'5*С*. Так как АА'В'С' = AABC1 a AABC =лЛ7В*С*, то Л А'В'С' = = ДЛГБ*С*. Поэтому существует движение /2, отобра-
209
жающее ДЛ'Б*С* в ДЛ'О'С Как доказано в предыдущем параграфе, это движение является поворотом.
Рассмотрим движение /2Д. При этом движении A ABC отображается в Д Л'В'С. Так как перемещением трех точек, не лежащих на одной прямой, движение определено полностью, то движение f2fi совпадает с данным движением /:
/=/2/і.
Итак, произвольное движение в пространстве может быть представлено как произведение переноса на поворот.
Рассмотрим теперь частный случай такого движения, когда вектор переноса Д перпендикулярен оси поворота /2.
Пусть вектор переноса MM1 перпендикулярен оси поворота t (черт. 188). Тогда существует плоскость G2, проходящая через прямую t и перпендикулярная вектору MM1. Представим перенос Д в виде произведения отражений от плоскостей G1 и а2; плоскость G1 параллельна плоскости G2 и находится от нее на расстоянии, равном половине вектора переноса. Поворот /2 в свою очередь представим как произведение отражений от плоскостей G2 и G3; плоскость G3 при этом проходит через ось поворота t и образует с плоскостью G2 двугранный угол, линей-Черт. 188 ный угол которого равен половине угла поворота.
Итак:
/l = s2s1» /2 ~ s3s2>
где s1, s2 и S3 — отражения от соответствующих плоскостей.
Движение / выражается следующим образом:
/ = /2/1 = (S3S2) • (S2Si).
Применяя свойство сочетательности произведения отражений, получим:
/ = S3 (S2S2) S1 S3Z0S1 = S3S1,
так как S2S2 = /0 — тождественное движение. 210
Плоскости O1 и о3 пересекаются по прямой Д, параллельной оси поворота t, и образуют при этом двугранный угол, равный соответствующему двугранному углу, образованному при пересечении плоскостей о2 и а3. Поэтому движение S3S1 представляет поворот с осью Д; повороты Д и S3S1 имеют при этом одинаковые углы поворота.
Итак, мы доказали теорему: произведение переноса на поворот около оси, перпендикулярной вектору переноса, есть поворот на тот же угол около оси, параллельной оси данного поворота.
Пусть теперь вектор переноса не перпендикулярен оси поворота. Разложим тогда перенос Д на переносы Д* и Д** (§ 63) так, чтобы вектор переноса Д* был параллелен оси поворота t, а вектор переноса Д** перпендикулярен этой оси.
Тогда имеем:
Л = /і*7Л / = /2/1 = /2(/1**/!*).
Применяя свойство сочетательности, получим:
/ = (/2/1**)/Л
По доказанному выше движению ДД** есть поворот около оси Д, параллельной оси t. Обозначая его через /2*, окончательно получим:
/= /2*/Л
Движение / мы представили как произведение переноса Д* на поворот Д*, ось которого Д параллельна вектору переноса. Такое движение называется винтовым. Поворот и перенос мы можем считать частными случаями винтового движения. Если Д* является тождественным движением, то / — поворот; если же тождественным движением является Д*, то / — перенос. Этим доказана следующая теорема.
